Verandering van variabelen in drievoudige integralen: bol- en cilindercoördinaten

Meervoudige integralen: Drievoudige integralen

Verandering van variabelen in drievoudige integralen: bol- en cilindercoördinaten

Stel dat $x=x(u,v,w)$ , $y=y(u,v,w)$ en $z=z(u,v,w)$ een inverteerbare afbeelding van een begrensd gebied $S$ het $uvw$ -vlak is naar een gebied $R$ in het $xyz$ -vlak en stel dat de functies $x$ , $y$ en $z$ continue afgeleides hebben op $S$ . Als de drievoudige integraal $\displaystyle \iint_R f(x,y,z)\,\dd(x,y,z)$ bestaat (oftewel $f(x,y,z)$ integreerbaar is op $R$ ) en als $g(u,v,w)=f\bigl(x(u,v,w), y(u,v,w), z(u,v,w)\bigr)$ , dan is $g(u,v,w)$ integreerbaar op $S$ en $\iint_R f(x,y,z)\,\dd(x,y,z) =\iint_S g(u,v,w)\cdot \bigl|J(u,v,w)\bigr|\,\dd u\,\dd v\,\dd w$ waaarbij de Jacobiaan $J(u,v,w)$ gedefinieerd is als $\begin{aligned}J(u,v,w) &=\det\matrix{\dfrac{\partial x}{\partial u} &\dfrac{\partial x}{\partial v} &\dfrac{\partial x}{\partial w}\\ \dfrac{\partial y}{\partial u} & \dfrac{\partial y}{\partial v} & \dfrac{\partial y}{\partial w}\\ \dfrac{\partial z}{\partial u} & \dfrac{\partial z}{\partial v} & \dfrac{\partial z}{\partial w}}\\[0.25cm] &= \dfrac{\partial x}{\partial u}\cdot \det\matrix{\dfrac{\partial y}{\partial v} & \dfrac{\partial y}{\partial w}\\ \dfrac{\partial z}{\partial v} & \dfrac{\partial z}{\partial w}} - \dfrac{\partial y}{\partial u}\cdot \det\matrix{\dfrac{\partial x}{\partial v} & \dfrac{\partial x}{\partial w}\\ \dfrac{\partial z}{\partial v} & \dfrac{\partial z}{\partial w}}+\dfrac{\partial z}{\partial u}\cdot \det\matrix{\dfrac{\partial x}{\partial v} & \dfrac{\partial x}{\partial w}\\ \dfrac{\partial y}{\partial v} & \dfrac{\partial y}{\partial w}} \\[0.25cm] &\phantom{abcuva}\blue{\text{ontwikkeling van de determinant langs de eerste kolom}} \end{aligned}$

Ook als $u$ , $v$ en $w$ als functies van $x$ , $y$ en $z$ bekend zijn kin je de Jacobiaan $J(u,v,w)$ bepalen. Er geldt immers $J(u,v,w)\cdot \det\matrix{\dfrac{\partial u}{\partial x} &\dfrac{\partial u}{\partial y} &\dfrac{\partial u}{\partial z}\\ \dfrac{\partial v}{\partial x} & \dfrac{\partial v}{\partial y} & \dfrac{\partial v}{\partial z}\\ \dfrac{\partial w}{\partial x} & \dfrac{\partial w}{\partial y} & \dfrac{\partial w}{\partial z}}=1$

Stel dat je de inhoud $I$ van een ellipsoïde $E=\{(x,y,x)\mid \frac{x^2}{a^2}+ \frac{y^2}{b^2}+ \frac{z^2}{c^2}\le 1]$ met $a>0, b>0, c>0$ wilt berekenen. Onder de transformatie $x=a\,u, y=b\,v, z=c\,w$ wordt de eenheidsbol $R=\{(u,v,w)\mid u^2+v^2+w^2\le 1\}$ afgebeeld op de ellipsoïde $E$ . De Jacobiaan $J(u,v,w)$ is eenvoudig te berekenen: $\begin{aligned}J(u,v,w) &=\det\matrix{a & 0 & 0\\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & c}\\[0.25cm] &= a\,b\,c\end{aligned}$ De inhoud $I$ van een ellipsoïde is nu als volgt te berekenen: $\begin{aligned} I &= \iiint_E \dd(x,y,z)\\[0.25cm] &= \iiint_{R} a\,b\,c\,\dd u\,\dd v\,\dd w\\[0.25cm] &= a\,b\,c\cdot \mathrm{inhoud}(R)\\[0.25cm] &= \frac{4}{3}\pi\,a\,b\,c\end{aligned}$

Cilindercoördinaten zijn eigenlijk poolcoördinaten $x=r\cos\varphi$ en $y=r\sin\varphi$ met een extra dimensie $z$ . Net als bij poolcoördinaten geldt dan $\bigl|J(r,\varphi,z\bigr|=r$ en dus $\iiint_R f(x,y,z)\dd(x,y,z)=\iiint_Sf(r\cos\varphi, r\sin\varphi,z)\,r\,\dd r\,\dd\varphi\,\dd z$

Je kunt de Jacobiaan $J(r,\varphi,,z)$ ook direct berekenen op basis van de coördinatentransformatie en de definitie van de Jacobiaan: $\begin{aligned}J(r,\varphi,z) &=\det\matrix{\dfrac{\partial x(r,\varphi,z)}{\partial r} &\dfrac{\partial x(r,\varphi,z)}{\partial \varphi} &\dfrac{\partial x(r,\varphi,z)}{\partial z}\\ \dfrac{\partial y(r,\varphi,z)}{\partial r} & \dfrac{\partial y(r,\varphi,z)}{\partial \varphi} & \dfrac{\partial y(r,\varphi,z)}{\partial z}\\ \dfrac{\partial z(r,\varphi,z)}{\partial r} & \dfrac{\partial z(r,\varphi,z)}{\partial \varphi} & \dfrac{\partial z(r,\varphi,z)}{\partial z}}\\[0.25cm] &= \det\matrix{\cos\varphi & \sin\varphi &0 \\ -r\sin\varphi & r\cos\varphi & 0\\ 0 & 0 & 1}\\[0.25cm] &= r\,(\cos^2\varphi + \sin^2\varphi)\\[0.25cm] &= r\end{aligned}$

Bereken met behulp van cilindercoördinaten de drievoudige integraal $\iiint_R (x^2+y^2+ z^2)\,\dd(x,y,z)$ waarbij $R=\{(x,y,z)\mid 0\le x^2+y^2\le 4,\;\; 0\le z\le 1\}$

$\iiint_B (x^2+y^2+ z^2)\,\dd(x,y,z)={}$ ${{14}\over{3}}$

Merk eerst op dat het integratiegebied $R$ in cilindercoördinaten beschreven kan worden met als integratiegebied $S=\{(r,\varphi,z)\mid 0\le r\le 2,\;\; 0\le \varphi\le 2\pi,\;\; 0\le z\le 1\}$ De gevraagde drievoudige integraal kan nu als volgt berekend worden als herhaalde integraal: $\begin{aligned} \iiint_R (x^2+y^2+ z^2)\,\dd(x,y,z) &= \iiint_S (r^2+ z^2)\,r\,\dd r\,\dd\varphi\,\dd z \\[0.25cm] &= \int_{z=0}^{z=1}\left(\int_{\varphi=0}^{\varphi=2\pi}\left(\int_{r=0}^{r=2}(r^3+z^2\,r)\,\dd r\right)\dd \varphi\right)\dd z\\[0.25cm] &= \int_{z=0}^{z=1}\left(\int_{\varphi=0}^{\varphi=2\pi} \biggl[\frac{1}{4}r^4+\frac{1}{2}z^2\,r^2\biggr]_{r=0}^{r=2}\;\dd\varphi\right)\dd z\\[0.25cm] &= \int_{z=0}^{z=1}\left(\int_{\varphi=0}^{\varphi=2\pi}\Bigl(4 +2z^2\Bigr)\,\dd\varphi\right)\dd z \\[0.25cm] &= \int_{z=0}^{z=1}\biggl[\Bigl(4 +2z^2\Bigr)\varphi\biggr]_{\varphi=0}^{\varphi=2\pi}\;\dd z\\[0.25cm] &= 2\pi \int_{z=0}^{z=1}\Bigl(4 +2z^2\Bigr)\dd z\\[0.25cm] &= \biggl[4z+2\times \frac{1}{3}z^3\biggr]_{z=0}^{z=1}\\[0.25cm] &= \biggl[4z+{{2}\over{3}}z^3\biggr]_{z=0}^{z=1}\\[0.25cm] &=4\times 1+{{2}\over{3}}\times 1^3\\[0.25cm] &= {{14}\over{3}}\end{aligned}$

Nieuw voorbeeld

Bolcoördinaten $(r,\varphi,\theta)$ zijn gedefineerd als in onderstaande figuur, met de volgende formules $\begin{aligned}x(r,\varphi,\theta)&=r\cos\varphi\sin\theta\\ y(r,\varphi,\theta)&=r\sin\varphi\sin\theta\\ z(r,\varphi,\theta) &= r\cos\theta\end{aligned}$

bolcoördinaten

In dit geval is de Jacobiaan van de coördinatentransformatie $\bigl|J(r,\varphi,z\bigr|=r^2\cos\theta$ en dus $\iiint_R f(x,y,z)\dd(x,y,z)=\iiint_S f(r\cos\varphi\cos\theta, r\sin\varphi\cos\theta,r\sin\theta)\,r^2\sin\theta\,\dd r\,\dd\varphi\,\dd\theta$

Je kunt de Jacobiaan $J(r,\varphi,,z)$ direct berekenen op basis van de coördnatentransformatie en de definitie van de Jacobiaan: $\begin{aligned}J(r,\varphi,\theta) &=\det\matrix{\dfrac{\partial x}{\partial r} &\dfrac{\partial x}{\partial \varphi} &\dfrac{\partial x}{\partial z\theta}\\ \dfrac{\partial y}{\partial r} & \dfrac{\partial y}{\partial \varphi} & \dfrac{\partial y}{\partial \theta}\\ \dfrac{\partial z}{\partial r} & \dfrac{\partial z}{\partial \varphi} & \dfrac{\partial z}{\partial \theta}}\\[0.25cm] &= \det\matrix{\cos\varphi \sin\theta& -r\sin\varphi\sin\theta & r\cos\varphi\cos\theta \\ \sin\varphi\sin\theta & r\cos\varphi\sin\theta & r\sin\varphi\cos\theta\\ \cos\theta & 0 & -r\sin\theta}\\[0.25cm] &= \cos\theta\cdot\det\matrix{-r\sin\varphi\sin\theta & r\cos\varphi\cos\theta \\ r\cos\varphi\sin\theta & r\sin\varphi\cos\theta} -r\sin\theta\cdot\det\matrix{\cos\varphi \sin\theta& -r\sin\varphi\sin\theta \\ \sin\varphi\sin\theta & r\cos\varphi\sin\theta } \\[0.25cm] &= -r\cos^2\theta\sin\theta\,(\sin^2\varphi+\cos^2\varphi) - r\sin^3\theta\,(\cos^2\varphi+\sin^2\varphi)\\[0.25cm] &= -r^2(\cos^2\theta+\sin^2 \theta)\sin\theta\\[0.25cm] &= -r^2\sin\theta\end{aligned}$ Dus: $\bigl|J(r,\varphi,\theta)\bigr|= r^2\sin\theta$

Bereken met behulp van bolcoördinaten de drievoudige integraal $\iiint_R \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\,\dd(x,y,z)$ waarbij $R=\{(x,y,z)\mid 0\le x^2+y^2+z^2\le 1\}$

$\iiint_R \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\,\dd(x,y,z)={}$ $2\pi$

Merk eerst op dat het integratiegebied $R$ in bolcoördinaten beschreven kan worden met als integratiegebied $S=\{(r,\varphi,\theta)\mid 0\le r\le 1,\;\; 0\le \varphi\le 2\pi,\;\; 0\le \theta \le \pi\}$ De gevraagde drievoudige integraal kan nu als volgt berekend worden als herhaalde integraal:
$\begin{aligned} \iiint_R \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\,\dd(x,y,z) &=\int_{\theta=0}^{\theta=\pi}\left(\int_{\varphi=0}^{\varphi=2\pi}\left(\int_{r=0}^{r=1}\frac{1}{r}\cdot r^2\sin\theta\,\dd r\right)\dd\varphi\right)\dd \theta\\[0.25cm] &=\int_{\theta=0}^{\theta=\pi}\left(\int_{\varphi=0}^{\varphi=2\pi}\left(\int_{r=0}^{r=1}r\sin\theta\,\dd r\right)\dd\varphi\right)\dd \theta\\[0.25cm] &=\int_{\theta=0}^{\theta=\pi}\left(\int_{\varphi=0}^{\varphi=2\pi}\biggl[\frac{1}{2}r^2\sin\theta\biggr]_{r=0}^{r=1}\;\dd\varphi\right)\dd \theta\\[0.25cm] &=\int_{\theta=0}^{\theta=\pi}\left(\int_{\varphi=0}^{\varphi=2\pi}\frac{1}{2}\sin\theta\,\dd\varphi\right)\dd \theta\\[0.25cm] &=\int_{\theta=0}^{\theta=\pi}2\pi\cdot\frac{1}{2}\sin\theta\,\dd \theta\\[0.25cm] &=\biggl[-\pi \cos\theta\biggr]_{\theta=0}^{\theta=\pi}\\[0.25cm]&= 2\pi \end{aligned}$

Nieuw voorbeeld