\(\displaystyle\text{inhoud}={}\)\({{1}\over{2}}\)

---

De inhoud \(I\) van de tetraëder \(R\) met hoekpunten \((0,0,0)\), \((1,3,0)\), \((0,3,0)\) en \((0,3,1)\) is te berekenen als de drievoudige integraal van de constante functie \(f(x,y,z)=1\) op het gebied \(R\). Deze tetraëder \(R\) wordt begrensd door de vlakken \(x=0\), \(z=0\), \(y=3\) en \(3z=y-3x\). Dit gebruiken we om de volgende herhaalde integraal op te stellen om de inhoud te berekenen: \[\begin{aligned}I &= \iiint_R \dd(x,y,z)\\[0.25cm] &= \int_{x=0}^{x=1}\left(\int_{y=3x}^{y=3}\left(\int_{z=0}^{z={{1}\over{3}}y-x}\dd z\right)\dd y\right)\dd x\\[0.25cm] &=\int_{x=0}^{x=1}\left(\int_{y=3x}^{y=3} ({{1}\over{3}}y-x)\,\dd y\right)\dd x\\[0.25cm] &= \int_{x=0}^{x=1}\biggl[{{1}\over{6}}y^2-xy\biggr]_{y=3x}^{y=3}\;\dd x\\[0.25cm] &= \int_{x=0}^{x=1} \bigl({{3}\over{2}}-3x+{{3}\over{2}}x^2\bigr)\,\dd x\\[0.25cm] &= \biggl[{{3}\over{2}}x-{{3}\over{2}}x^2+{{1}\over{2}}x^3\biggr]_{x=0}^{x=1}\\[0.25cm] &= {{1}\over{2}}\end{aligned}\]