\(\displaystyle\text{inhoud}={}\)\({{2}\over{3}}\)

---

De inhoud \(I\) van de tetraëder \(R\) met hoekpunten \((0,0,0)\), \((1,1,0)\), \((0,1,0)\) en \((0,1,4)\) is te berekenen als de drievoudige integraal van de constante functie \(f(x,y,z)=1\) op het gebied \(R\). Deze tetraëder \(R\) wordt begrensd door de vlakken \(x=0\), \(z=0\), \(y=1\) en \(z=4y-4x\). Dit gebruiken we om de volgende herhaalde integraal op te stellen om de inhoud te berekenen: \[\begin{aligned}I &= \iiint_R \dd(x,y,z)\\[0.25cm] &= \int_{x=0}^{x=1}\left(\int_{y=x}^{y=1}\left(\int_{z=0}^{z=4y-4x}\dd z\right)\dd y\right)\dd x\\[0.25cm] &=\int_{x=0}^{x=1}\left(\int_{y=x}^{y=1} (4y-4x)\,\dd y\right)\dd x\\[0.25cm] &= \int_{x=0}^{x=1}\biggl[2y^2-4xy\biggr]_{y=x}^{y=1}\;\dd x\\[0.25cm] &= \int_{x=0}^{x=1} \bigl(2-4x+2x^2\bigr)\,\dd x\\[0.25cm] &= \biggl[2x-2x^2+{{2}\over{3}}x^3\biggr]_{x=0}^{x=1}\\[0.25cm] &= {{2}\over{3}}\end{aligned}\]