$\displaystyle\text{inhoud}={}$${{8}\over{3}}$

---

De inhoud $I$ van de tetraëder $R$ met hoekpunten $(0,0,0)$, $(2,2,0)$, $(0,2,0)$ en $(0,2,4)$ is te berekenen als de drievoudige integraal van de constante functie $f(x,y,z)=1$ op het gebied $R$. Deze tetraëder $R$ wordt begrensd door de vlakken $x=0$, $z=0$, $y=2$ en $z=2y-2x$. Dit gebruiken we om de volgende herhaalde integraal op te stellen om de inhoud te berekenen: $$\begin{aligned}I &= \iiint_R \dd(x,y,z)\\[0.25cm] &= \int_{x=0}^{x=2}\left(\int_{y=x}^{y=2}\left(\int_{z=0}^{z=2y-2x}\dd z\right)\dd y\right)\dd x\\[0.25cm] &=\int_{x=0}^{x=2}\left(\int_{y=x}^{y=2} (2y-2x)\,\dd y\right)\dd x\\[0.25cm] &= \int_{x=0}^{x=2}\biggl[y^2-2xy\biggr]_{y=x}^{y=2}\;\dd x\\[0.25cm] &= \int_{x=0}^{x=2} \bigl(4-4x+x^2\bigr)\,\dd x\\[0.25cm] &= \biggl[4x-2x^2+{{1}\over{3}}x^3\biggr]_{x=0}^{x=2}\\[0.25cm] &= {{8}\over{3}}\end{aligned}$$