Meervoudige integralen: Toepassingen van meervoudige integralen
Inhoudsberekening van een 3D-gebied
De inhoud \(I\) van een gesloten en begrensd gebied \(R\) in de driedimensionale ruimte wordt gegeven door de volgende formule: \[I=\iiint_R\dd(x,y,z)\]
Bereken de inhoud van de tetraëder met hoekpunten \((0,0,0)\), \((1,3,0)\), \((0,3,0)\) en \((0,3,4)\).
\(\displaystyle\text{inhoud}={}\)\(2\)
De inhoud \(I\) van de tetraëder \(R\) met hoekpunten \((0,0,0)\), \((1,3,0)\), \((0,3,0)\) en \((0,3,4)\) is te berekenen als de drievoudige integraal van de constante functie \(f(x,y,z)=1\) op het gebied \(R\). Deze tetraëder \(R\) wordt begrensd door de vlakken \(x=0\), \(z=0\), \(y=3\) en \(3z=4y-12x\). Dit gebruiken we om de volgende herhaalde integraal op te stellen om de inhoud te berekenen: \[\begin{aligned}I &= \iiint_R \dd(x,y,z)\\[0.25cm] &= \int_{x=0}^{x=1}\left(\int_{y=3x}^{y=3}\left(\int_{z=0}^{z={{4}\over{3}}y-4x}\dd z\right)\dd y\right)\dd x\\[0.25cm] &=\int_{x=0}^{x=1}\left(\int_{y=3x}^{y=3} ({{4}\over{3}}y-4x)\,\dd y\right)\dd x\\[0.25cm] &= \int_{x=0}^{x=1}\biggl[{{2}\over{3}}y^2-4xy\biggr]_{y=3x}^{y=3}\;\dd x\\[0.25cm] &= \int_{x=0}^{x=1} \bigl(6-12x+6x^2\bigr)\,\dd x\\[0.25cm] &= \biggl[6x-6x^2+2x^3\biggr]_{x=0}^{x=1}\\[0.25cm] &= 2\end{aligned}\]
Ontgrendel volledige toegang
