\(\displaystyle\text{inhoud}={}\)\({{1}\over{3}}\)

---

De inhoud \(I\) van de tetraëder \(R\) met hoekpunten \((0,0,0)\), \((2,1,0)\), \((0,1,0)\) en \((0,1,1)\) is te berekenen als de drievoudige integraal van de constante functie \(f(x,y,z)=1\) op het gebied \(R\). Deze tetraëder \(R\) wordt begrensd door de vlakken \(x=0\), \(z=0\), \(y=1\) en \(2z=2y-x\). Dit gebruiken we om de volgende herhaalde integraal op te stellen om de inhoud te berekenen: \[\begin{aligned}I &= \iiint_R \dd(x,y,z)\\[0.25cm] &= \int_{x=0}^{x=2}\left(\int_{y={{1}\over{2}}x}^{y=1}\left(\int_{z=0}^{z=y-{{1}\over{2}}x}\dd z\right)\dd y\right)\dd x\\[0.25cm] &=\int_{x=0}^{x=2}\left(\int_{y={{1}\over{2}}x}^{y=1} (y-{{1}\over{2}}x)\,\dd y\right)\dd x\\[0.25cm] &= \int_{x=0}^{x=2}\biggl[{{1}\over{2}}y^2-{{1}\over{2}}xy\biggr]_{y={{1}\over{2}}x}^{y=1}\;\dd x\\[0.25cm] &= \int_{x=0}^{x=2} \bigl({{1}\over{2}}-{{1}\over{2}}x+{{1}\over{8}}x^2\bigr)\,\dd x\\[0.25cm] &= \biggl[{{1}\over{2}}x-{{1}\over{4}}x^2+{{1}\over{24}}x^3\biggr]_{x=0}^{x=2}\\[0.25cm] &= {{1}\over{3}}\end{aligned}\]