\(\displaystyle\text{inhoud}={}\)\(1\)

---

De inhoud \(I\) van de tetraëder \(R\) met hoekpunten \((0,0,0)\), \((3,1,0)\), \((0,1,0)\) en \((0,1,2)\) is te berekenen als de drievoudige integraal van de constante functie \(f(x,y,z)=1\) op het gebied \(R\). Deze tetraëder \(R\) wordt begrensd door de vlakken \(x=0\), \(z=0\), \(y=1\) en \(3z=6y-2x\). Dit gebruiken we om de volgende herhaalde integraal op te stellen om de inhoud te berekenen: \[\begin{aligned}I &= \iiint_R \dd(x,y,z)\\[0.25cm] &= \int_{x=0}^{x=3}\left(\int_{y={{1}\over{3}}x}^{y=1}\left(\int_{z=0}^{z=2y-{{2}\over{3}}x}\dd z\right)\dd y\right)\dd x\\[0.25cm] &=\int_{x=0}^{x=3}\left(\int_{y={{1}\over{3}}x}^{y=1} (2y-{{2}\over{3}}x)\,\dd y\right)\dd x\\[0.25cm] &= \int_{x=0}^{x=3}\biggl[y^2-{{2}\over{3}}xy\biggr]_{y={{1}\over{3}}x}^{y=1}\;\dd x\\[0.25cm] &= \int_{x=0}^{x=3} \bigl(1-{{2}\over{3}}x+{{1}\over{9}}x^2\bigr)\,\dd x\\[0.25cm] &= \biggl[x-{{1}\over{3}}x^2+{{1}\over{27}}x^3\biggr]_{x=0}^{x=3}\\[0.25cm] &= 1\end{aligned}\]