Meervoudige integralen: Toepassingen van meervoudige integralen
Gemiddelde waarde van een functie in 2 of 3 variabelen
De gemiddelde waarde van een integreerbare functie van twee variabelen op een gebied \(R\) kan als volgt berekend worden:\[\begin{aligned}\text{gemiddelde waarde van }f\text{ op }R &=\frac{1}{\text{oppervlakte van }R}\iint_R f(x,y)\,\dd(x,y)\\[0.25cm] &=\dfrac{\iint_R f(x,y)\,\dd(x,y)}{\iint_R \dd(x,y)}\end{aligned}\]
Een zeer groot aantal van punten \((x,y)\) wordt willekeurig gegenereerd in de driehoek \(D\) met hoekpunten\((0,0)\), \(1,0)\) en \((0,10\). Wat is de gemiddelde waarde van \(x+y\) voor de verzameling punten?
De gemiddelde waarde van \(x+y\) voor de verzameling punten is gelijk aan de gemiddelde waarde van de functie op de driehoek en wel \[\begin{aligned}\frac{1}{1/2}\iint_D (x+y)\,\dd(x,y) &= 2\int_{x=0}^{x=1}\left(\int_{y=0}^{y=1-x}(x+y)\,\dd y\right)\dd x \\[0.25cm] &= 2\int_{x=0}^{x=1}\biggl[x\,y+\frac{1}{2}y^2\biggr]_{y=0}^{y=1-x}\;\dd x\\[0.25cm] &=2\int_{x=0}^{x=1} \left(x\,(x-1) - (1-x)^2\right)\,\dd x\\[0.25cm] &=\int_{x=0}^{x=1} \left(1-x^2\right)\,\dd x\\[0.25cm] &=\biggl[x-\frac{1}{3}x^3\biggl]_{x=0}^{x=1}\\[0.25cm] &=\frac{2}{3}\end{aligned}\]
De gemiddelde waarde van een integreerbare functie van drie variabelen op een gebied \(R\) kan als volgt berekend worden:\[\begin{aligned}\text{gemiddelde waarde van }f\text{ op }R &=\frac{1}{\text{inhoud van }R}\iiint_R f(x,y,z)\,\dd(x,y,z)\\[0.25cm] &=\dfrac{\iiint_R f(x,y,z)\,\dd(x,y,z)}{\iint_R \dd(x,y)}\end{aligned}\]
