Zwaartepunt, statische momenten en traagheidsmomenten

Meervoudige integralen: Toepassingen van meervoudige integralen

Zwaartepunt, statische momenten en traagheidsmomenten

Als van een star lichaam $R$ de continue dichtheid $\rho(x,y,z)$ in ieder punt van $R$ gegeven is, dan geldt voor een volume-elementje met zeer kleine afmetingen $\dd (x,y,z)$ dat de massa hiervan ongeveer gelijk is aan $\rho(x,y,z)\,\dd(x, y,z)$ . Voor de totale massa $M$ van $R$ geldt daarom $M=\iiint_R \rho(x,y,z)\,\dd(x, y,z)$

De 3D-statische momenten $M_{yz}$ , $M_{xz}$ en $M_{xy}$ van $R$ respectievelijk t.o.v. het $yz$ -vlak, $xz$ -vlak en $xy$ -vlak, ook wel eerste (massa)momenten genoemd, zijn als volgt gedefinieerd:
$\begin{aligned} M_{yz} &=\iiint_R x\,\rho(x,y,z)\,\dd(x,y,z)\\[0.25cm] M_{xz} &=\iiint_R y\,\rho(x,y,z)\,\dd(x,y,z)\\[0.25cm] M_{xy} &=\iiint_R z\,\rho(x,y,z)\,\dd(x,y,z)\end{aligned}$

Het 3D-massamiddelpunt, meestal zwaartepunt genoemd, $(\bar{x},\bar{y},\bar{z})$ van $R$ wordt gegeven door: $\bar{x}=\frac{M_{yz}}{M},\quad \bar{y}=\frac{M_{xz}}{M},\quad \bar{z}=\frac{M_{xy}}{M}$

Bepaal het zwaartepunt van het hieronder geschetste starre lichaam $R$ ingesloten door het vlak $z=0$ en de paraboloïde $z=16-x^2-y^2$ onder de veronderstelling dat de dichtheid een constante $\rho$ is..

GeoGebra

$\cv{\bar{x} \\ \bar{y} \\ \bar{z}} ={}$ $\cv{0\\ 0\\ {{16}\over{3}}}$

Uit symmetrieoverwegingen weten we dat $\bar{x}=0$ en $\bar{y}=0$ . We kunnen ons dus beperken tot de berekening van $\bar{z}$ .

Eerst berekenen we de totale massa $M$ : $\begin{aligned} M &= \iiint_R \rho\,\dd(x,y,z)\\[0.25cm] &= \rho\, \int_{z=0}^{z=16}\left(\int_{\varphi=0}^{\varphi=2\pi}\left(\int_{r=0}^{r=\sqrt{16-z}}r\,\dd r\right)\dd\varphi\right)\dd z\\[0.25cm]&\phantom{abcuva} \blue{\text{in cilindercoördinaten}}\\[0.25cm] &= \rho\, \int_{z=0}^{z=16}\left(\int_{\varphi=0}^{\varphi=2\pi}\biggl[\frac{1}{2}r^2\biggl]_{r=0}^{r=\sqrt{16-z}}\;\dd\varphi\right)\dd z\\[0.25cm] &=\frac{1}{2}\rho\int_{z=0}^{z=16}\left(\int_{\varphi=0}^{\varphi=2\pi}(16-z)\,\dd \varphi\right)\dd z\\[0.25cm] &=\frac{1}{2}\rho\int_{z=0}^{z=16}\biggl[(16-z)\,\varphi\biggr]_{\varphi=0}^{\varphi=2\pi}\;\dd z \\[0.25cm] &= \pi\,\rho\int_{z=0}^{z=16}(16-z)\,\dd z\\[0.25cm] &= \pi\,\rho\,\biggl[-\frac{1}{2}(16-z)^2\biggr]_{z=0}^{z=16}\\[0.25cm] &=\pi\,\rho\, \left(0-\Bigl(-\frac{1}{2}\,16^2\Bigr)\right)\\[0.25cm] &= 128\,\pi\,\rho\end{aligned}$ Hierna bepalen we op een soortgelijke wijze het statische moment $M_{xy}$ : $\begin{aligned} M_{xy} &= \iiint_R z\,\rho\,\dd(x,y,z)\\[0.25cm] &= \rho\, \int_{z=0}^{z=16}\left(\int_{\varphi=0}^{\varphi=2\pi}\left(\int_{r=0}^{r=\sqrt{16-z}}z\,r\,\dd r\right)\dd\varphi\right)\dd z\\[0.25cm]&\phantom{abcuva} \blue{\text{in cilindercoördinaten}}\\[0.25cm] &= \rho\, \int_{z=0}^{z=16}\left(\int_{\varphi=0}^{\varphi=2\pi}\biggl[\frac{1}{2}r^2\,z\biggl]_{r=0}^{r=\sqrt{16-z}}\;\dd\varphi\right)\dd z\\[0.25cm] &=\frac{1}{2}\rho\int_{z=0}^{z=16}\left(\int_{\varphi=0}^{\varphi=2\pi}(16-z)\,z\,\dd \varphi\right)\dd z\\[0.25cm] &=\frac{1}{2}\rho\int_{z=0}^{z=16}\biggl[(16-z)\,z\,\varphi\biggr]_{\varphi=0}^{\varphi=2\pi}\;\dd z \\[0.25cm] &= \pi\,\rho\int_{z=0}^{z=16}(16-z)\,z\,\dd z\\[0.25cm] &= \pi\,\rho\,\biggl[8z^2-\frac{1}{3}z^3\biggr]_{z=0}^{z=16}\\[0.25cm] &=\pi\,\rho\, \left(\frac{1}{2}\,16^2-\frac{1}{3}\,16^3-0\right)\\[0.25cm] &= {{2048}\over{3}}\,\pi\,\rho\end{aligned}$ De $z$ -coördinaat van het massamiddelpunt is nu als quotiënt uit te rekenen: $\begin{aligned} \bar{z}&=\frac{M_{xy}}{M}\\[0.25cm] &= \frac{{{2048}\over{3}}\,\pi\,\rho}{128\,\pi\,\rho}\\[0.25cm] &= {{16}\over{3}}\end{aligned}$

Nieuw voorbeeld

Het 3D-traagheidsmoment $M_{\ell}$ van $R$ t.o.v. de lijn $\ell$ is als volgt gedefinieerd: $I_{\ell} = \iiint \delta(x,y,z)^2\,\rho(x,y,z)\,\dd(x,y,z)$ waarbij $\delta(x,y,z)^2=\text{afstand van het punt }(x,y,z)\text{ tot de lijn }\ell\text.$ Drie speciale gevallen zijn de traagheidsmomenten t.o.v. de coördinaatassen: $\begin{aligned} I_x &=\iiint_R (y^2+z^2)\,\rho(x,y,z)\,\dd(x,y,z)\\[0.25cm] I_{y} &=\iiint_R (x^2+z^2) \,\rho(x,y,z)\,\dd(x,y,z)\\[0.25cm] I_{z} &=\iiint_R (x^2+y^2)\,\rho(x,y,z)\,\dd(x,y,z)\end{aligned}$ De traagheidsstraal $k_{\ell}$ t.o.v. een lijn $\ell$ wordt als volgt gedefinieerd in termen van het traagheidsmoment $I_\ell$ en de totale massa $M$ van $R$ : $k_{\ell}=\sqrt{\frac{I_{\ell}}{M}}$

In praktijk wordt vaak de volgende stelling gebruikt om het traagheidsmoment $I_{\ell}$ t.o.v. een lijn $\ell$ te berekenen.

Het traagheidsmoment $I_{\ell}$ t.o.v. een lijn $\ell$ voor een star voorwerp kan berekend worden als $I_{\ell} = I_0+ Md^2$ waarbij $M$ de massa van het voorwerp is, $I_0$ het traagheidsmoment t.o.v. van de lijn $\ell_0$ door het zwaartepunt en parallel aan $\ell$ is, en $d$ de afstand tussen de twee lijnen $\ell$ en $\ell_0$ .

Voor een cilinder met straal $a$ , hoogte $h$ , constante dichtheid en een totale massa $M$ geldt voor het traagheidmoment $I_0$ t.o.v. een lijn $\ell_0$ door het zwaartepunt en loodrecht op de cilinderas $I_0 =\frac{1}{12}M(3a^2+h^2)$ Controleer dit zelf door de definitie van het traagheidsmoment. Als je het traagheidsmoment $I_\ell$ aan een uiteinde van de cilinder t.o.v een lijn $\ell$ parallel aan $\ell_0$ wilt berekenen zegt de stelling van Steiner dat $\begin{aligned} I_\ell &= I_0 +M\left(\frac{h}{2}\right)^2\\[0.25cm] &= \frac{1}{4}M(a^2+h^2)\end{aligned}$

Voor een tweedimensionaal begrensd gebied gelden soortgelijke formules door simpelweg $z$ weg te laten. In de stelling van Steiner moet massa vervangen worden door oppervlakte.

Als van een tweedimensionaal gebied $R$ de continue dichtheid $\rho(x,y)$ in ieder punt van $R$ gegeven is, dan geldt voor een oppervlakte-elementje met zeer kleine afmetingen $\dd (x,y)$ dat de massa hiervan ongeveer gelijk is aan $\rho(x,y)\,\dd(x, y)$ . Voor de totale massa $M$ van $R$ geldt daarom $M=\iint_R \rho(x,y)\,\dd(x, y)$

De 2D-statische momenten $M_{y}$ en $M_{x}$ van $R$ respectievelijk t.o.v. de $x$ - en $y$ -as, ook wel eerste orde oppervlaktemomenten genoemd, zijn als volgt gedefinieerd:
$\begin{aligned} M_{y} &=\iint_R x\,\rho(x,y)\,\dd(x,y)\\[0.25cm] M_{x} &=\iiint_R y\,\rho(x,y)\,\dd(x,y)\end{aligned}$

Het 2D-massamiddelpunt, beter bekend als zwaartepunt, $(\bar{x},\bar{y})$ van $R$ wordt gegeven door: $\bar{x}=\frac{M_{y}}{M},\quad \bar{y}=\frac{M_{x}}{M}$

Bepaal het zwaartepunt van het hieronder geschetste gebied $R$ in het platte vlak dat ingesloten wordt door de kromme $y=x^2$ en de lijn $y=3x$ onder de veronderstelling dat de dichtheid een constante $\rho$ is. Het massamiddelpunt is in onderstaande figuur met een rode punt aangegeven.

GeoGebra

$\cv{\bar{x} \\ \bar{y}} ={}$ $\cv{{{3}\over{2}}\\ {{18}\over{5}}}$

Eerst berekenen we de totale massa $M$ : $\begin{aligned} M &= \iint_R \rho\,\dd(x,y)\\[0.25cm] &= \rho\, \int_{x=0}^{x=3}\left(\int_{y=x^2}^{y=3 x}\dd y\right)\dd x\\[0.25cm] &= \rho \int_{x=0}^{x=3}\biggl[y\biggr]_{y=x^2}^{y=3 x}\\[0.25cm] &=\rho \int_{x=0}^{x=3} \left(3 x-x^2\right)\,\dd x\\[0.25cm] &= \rho\cdot \biggl[{{3}\over{2}}x^2-\frac{1}{3}x^3\biggr]_{x=0}^{x=3}\\[0.25cm] &= {{9}\over{2}}\rho \end{aligned}$ Hierna bepalen we op een soortgelijke wijze de statische momenten $M_{y}$ en $M_{x}$ : $\begin{aligned} M_{y} &= \iint_R x\,\rho\,\dd(x,y)\\[0.25cm] &= \rho\int_{x=0}^{x=3}\left(\int_{y=x^2}^{y=3 x}x\, \dd y\right)\dd x\\[0.25cm] &= \rho \int_{x=0}^{x=3}\biggl[x\,y\biggr]_{y=x^2}^{y=3 x}\;\dd x\\[0.25cm] &=\rho \int_{x=0}^{x=3} \left(3 x^2-x^3\right)\,\dd x\\[0.25cm] &= \rho\cdot \biggl[x^3-\frac{1}{4}x^4\biggr]_{x=0}^{x=3}\\[0.25cm] &= {{27}\over{4}}\,\rho\\[1.0cm] M_{x} &= \iint_R y\,\rho\,\dd(x,y)\\[0.25cm] &= \rho\int_{x=0}^{x=3}\left(\int_{y=x^2}^{y=3 x}y\, \dd y\right)\dd x\\[0.25cm] &= \rho \int_{x=0}^{x=3}\biggl[\frac{1}{2}y^2\biggr]_{y=x^2}^{y=3 x}\\[0.25cm] &=\rho \int_{x=0}^{x=3} \left({{9}\over{2}} x^2-\frac{1}{2}x^4\right)\,\dd x\\[0.25cm] &= \rho\cdot \biggl[{{3}\over{2}}x^3-\frac{1}{10}x^5\biggr]_{x=0}^{x=3}\\[0.25cm] &= {{81}\over{5}}\,\rho \end{aligned}$ De coördinaten van het massamiddelpunt zijn nu als quotiënten uit te rekenen: $\begin{aligned} \bar{x}&=\frac{M_{y}}{M}\\[0.25cm] &= \frac{{{27}\over{4}}\,\rho}{{{9}\over{2}}\,\rho}\\[0.25cm] &= {{3}\over{2}}\\[0.5cm] \bar{y}&=\frac{M_{x}}{M}\\[0.25cm] &= \frac{{{81}\over{5}}\,\rho}{{{9}\over{2}}\,\rho}\\[0.25cm] &= {{18}\over{5}}\end{aligned}$

Nieuw voorbeeld

Het 2D-traagheidsmoment $M_{\ell}$ van $R$ t.o.v. de lijn $\ell$ , ook wel oppervlaktetraagheidsmoment genoemd, is als volgt gedefinieerd: $I_{\ell} = \iiint \delta(x,y)^2\,\rho(x,y)\,\dd(x,y,z)$ waarbij $\delta(x,y)^2=\text{afstand van het punt }(x,y)\text{ tot de lijn }\ell\text.$ Twee speciale gevallen zijn de traagheidsmomenten t.o.v. de coördinaatassen: $\begin{aligned} I_x &=\iint_R y^2\,\rho(x,y)\,\dd(x,y)\\[0.25cm] I_{y} &=\iint_R x^2\,\rho(x,y,z)\,\dd(x,y)\end{aligned}$ Het traagheidsmoment $I_O$ om de oorsprong, ook wel het polaire traagheidmoment genoemd, is gedefinieerd als $\begin{aligned}I_O&=I_x+I_y\\[0.25cm] &=\iint \left((x^2+y^2\right)\,\rho(x,y)\,\dd(x,y)\end{aligned}$