Meervoudige integralen: Toepassingen van meervoudige integralen
Zwaartepunt, statische momenten en traagheidsmomenten
Als van een star lichaam \(R\) de continue dichtheid \(\rho(x,y,z)\) in ieder punt van \(R\) gegeven is, dan geldt voor een volume-elementje met zeer kleine afmetingen \(\dd (x,y,z)\) dat de massa hiervan ongeveer gelijk is aan \(\rho(x,y,z)\,\dd(x, y,z)\). Voor de totale massa \(M\) van \(R\) geldt daarom \[M=\iiint_R \rho(x,y,z)\,\dd(x, y,z)\]
Statische momenten in drie dimensies De 3D-statische momenten \(M_{yz}\), \(M_{xz}\) en \(M_{xy}\) van \(R\) respectievelijk t.o.v. het \(yz\)-vlak, \(xz\)-vlak en \(xy\)-vlak, ook wel eerste (massa)momenten genoemd, zijn als volgt gedefinieerd:
\[\begin{aligned} M_{yz} &=\iiint_R x\,\rho(x,y,z)\,\dd(x,y,z)\\[0.25cm]
M_{xz} &=\iiint_R y\,\rho(x,y,z)\,\dd(x,y,z)\\[0.25cm]
M_{xy} &=\iiint_R z\,\rho(x,y,z)\,\dd(x,y,z)\end{aligned}\]
Het 3D-massamiddelpunt, meestal zwaartepunt genoemd, \((\bar{x},\bar{y},\bar{z})\) van \(R\) wordt gegeven door: \[\bar{x}=\frac{M_{yz}}{M},\quad \bar{y}=\frac{M_{xz}}{M},\quad \bar{z}=\frac{M_{xy}}{M}\]
Bepaal het zwaartepunt van het hieronder geschetste starre lichaam \(R\) ingesloten door het vlak \(z=0\) en de paraboloïde \(z=4-x^2-y^2\) onder de veronderstelling dat de dichtheid een constante \(\rho\) is..
\(\cv{\bar{x} \\ \bar{y} \\ \bar{z}} ={}\)\(\cv{0\\ 0\\ {{4}\over{3}}}\)
Uit symmetrieoverwegingen weten we dat \(\bar{x}=0\) en \(\bar{y}=0\). We kunnen ons dus beperken tot de berekening van \(\bar{z}\).
Eerst berekenen we de totale massa \(M\): \[\begin{aligned} M &= \iiint_R \rho\,\dd(x,y,z)\\[0.25cm] &= \rho\, \int_{z=0}^{z=4}\left(\int_{\varphi=0}^{\varphi=2\pi}\left(\int_{r=0}^{r=\sqrt{4-z}}r\,\dd r\right)\dd\varphi\right)\dd z\\[0.25cm]&\phantom{abcuva} \blue{\text{in cilindercoördinaten}}\\[0.25cm] &= \rho\, \int_{z=0}^{z=4}\left(\int_{\varphi=0}^{\varphi=2\pi}\biggl[\frac{1}{2}r^2\biggl]_{r=0}^{r=\sqrt{4-z}}\;\dd\varphi\right)\dd z\\[0.25cm] &=\frac{1}{2}\rho\int_{z=0}^{z=4}\left(\int_{\varphi=0}^{\varphi=2\pi}(4-z)\,\dd \varphi\right)\dd z\\[0.25cm] &=\frac{1}{2}\rho\int_{z=0}^{z=4}\biggl[(4-z)\,\varphi\biggr]_{\varphi=0}^{\varphi=2\pi}\;\dd z \\[0.25cm] &= \pi\,\rho\int_{z=0}^{z=4}(4-z)\,\dd z\\[0.25cm] &= \pi\,\rho\,\biggl[-\frac{1}{2}(4-z)^2\biggr]_{z=0}^{z=4}\\[0.25cm] &=\pi\,\rho\, \left(0-\Bigl(-\frac{1}{2}\,4^2\Bigr)\right)\\[0.25cm] &= 8\,\pi\,\rho\end{aligned}\] Hierna bepalen we op een soortgelijke wijze het statische moment \(M_{xy}\): \[\begin{aligned} M_{xy} &= \iiint_R z\,\rho\,\dd(x,y,z)\\[0.25cm] &= \rho\, \int_{z=0}^{z=4}\left(\int_{\varphi=0}^{\varphi=2\pi}\left(\int_{r=0}^{r=\sqrt{4-z}}z\,r\,\dd r\right)\dd\varphi\right)\dd z\\[0.25cm]&\phantom{abcuva} \blue{\text{in cilindercoördinaten}}\\[0.25cm] &= \rho\, \int_{z=0}^{z=4}\left(\int_{\varphi=0}^{\varphi=2\pi}\biggl[\frac{1}{2}r^2\,z\biggl]_{r=0}^{r=\sqrt{4-z}}\;\dd\varphi\right)\dd z\\[0.25cm] &=\frac{1}{2}\rho\int_{z=0}^{z=4}\left(\int_{\varphi=0}^{\varphi=2\pi}(4-z)\,z\,\dd \varphi\right)\dd z\\[0.25cm] &=\frac{1}{2}\rho\int_{z=0}^{z=4}\biggl[(4-z)\,z\,\varphi\biggr]_{\varphi=0}^{\varphi=2\pi}\;\dd z \\[0.25cm] &= \pi\,\rho\int_{z=0}^{z=4}(4-z)\,z\,\dd z\\[0.25cm] &= \pi\,\rho\,\biggl[2z^2-\frac{1}{3}z^3\biggr]_{z=0}^{z=4}\\[0.25cm] &=\pi\,\rho\, \left(\frac{1}{2}\,4^2-\frac{1}{3}\,4^3-0\right)\\[0.25cm] &= {{32}\over{3}}\,\pi\,\rho\end{aligned}\] De \(z\)-coördinaat van het massamiddelpunt is nu als quotiënt uit te rekenen: \[\begin{aligned} \bar{z}&=\frac{M_{xy}}{M}\\[0.25cm] &= \frac{{{32}\over{3}}\,\pi\,\rho}{8\,\pi\,\rho}\\[0.25cm] &= {{4}\over{3}}\end{aligned}\]
Traagheidsmomenten in drie dimensies Het 3D-traagheidsmoment \(M_{\ell}\) van \(R\) t.o.v. de lijn \(\ell\) is als volgt gedefinieerd: \[I_{\ell} = \iiint \delta(x,y,z)^2\,\rho(x,y,z)\,\dd(x,y,z)\] waarbij \[\delta(x,y,z)^2=\text{afstand van het punt }(x,y,z)\text{ tot de lijn }\ell\text.\] Drie speciale gevallen zijn de traagheidsmomenten t.o.v. de coördinaatassen: \[\begin{aligned} I_x &=\iiint_R (y^2+z^2)\,\rho(x,y,z)\,\dd(x,y,z)\\[0.25cm]
I_{y} &=\iiint_R (x^2+z^2) \,\rho(x,y,z)\,\dd(x,y,z)\\[0.25cm]
I_{z} &=\iiint_R (x^2+y^2)\,\rho(x,y,z)\,\dd(x,y,z)\end{aligned}\] De traagheidsstraal \(k_{\ell}\) t.o.v. een lijn \(\ell\) wordt als volgt gedefinieerd in termen van het traagheidsmoment \(I_\ell\) en de totale massa \(M\) van \(R\): \[k_{\ell}=\sqrt{\frac{I_{\ell}}{M}}\]
In praktijk wordt vaak de volgende stelling gebruikt om het traagheidsmoment \(I_{\ell}\) t.o.v. een lijn \(\ell\) te berekenen.
Stelling van Steiner Het traagheidsmoment \(I_{\ell}\) t.o.v. een lijn \(\ell\) voor een star voorwerp kan berekend worden als \[I_{\ell} = I_0+ Md^2\] waarbij \(M\) de massa van het voorwerp is, \(I_0\) het traagheidsmoment t.o.v. van de lijn \(\ell_0\) door het zwaartepunt en parallel aan \(\ell\) is, en \(d\) de afstand tussen de twee lijnen \(\ell\) en \(\ell_0\).
Voor een tweedimensionaal begrensd gebied gelden soortgelijke formules door simpelweg \(z\) weg te laten. In de stelling van Steiner moet massa vervangen worden door oppervlakte.
Als van een tweedimensionaal gebied \(R\) de continue dichtheid \(\rho(x,y)\) in ieder punt van \(R\) gegeven is, dan geldt voor een oppervlakte-elementje met zeer kleine afmetingen \(\dd (x,y)\) dat de massa hiervan ongeveer gelijk is aan \(\rho(x,y)\,\dd(x, y)\). Voor de totale massa \(M\) van \(R\) geldt daarom \[M=\iint_R \rho(x,y)\,\dd(x, y)\]
Statische momenten in twee dimensies De 2D-statische momenten \(M_{y}\) en \(M_{x}\) van \(R\) respectievelijk t.o.v. de \(x\)- en \(y\)-as, ook wel eerste orde oppervlaktemomenten genoemd, zijn als volgt gedefinieerd:
\[\begin{aligned} M_{y} &=\iint_R x\,\rho(x,y)\,\dd(x,y)\\[0.25cm]
M_{x} &=\iiint_R y\,\rho(x,y)\,\dd(x,y)\end{aligned}\]
Het 2D-massamiddelpunt, beter bekend als zwaartepunt, \((\bar{x},\bar{y})\) van \(R\) wordt gegeven door: \[\bar{x}=\frac{M_{y}}{M},\quad \bar{y}=\frac{M_{x}}{M}\]
Bepaal het zwaartepunt van het hieronder geschetste gebied \(R\) in het platte vlak dat ingesloten wordt door de kromme \(y=x^2\) en de lijn \(y=3x\) onder de veronderstelling dat de dichtheid een constante \(\rho\) is. Het massamiddelpunt is in onderstaande figuur met een rode punt aangegeven.
\(\cv{\bar{x} \\ \bar{y}} ={}\)\(\cv{{{3}\over{2}}\\ {{18}\over{5}}}\)
Eerst berekenen we de totale massa \(M\): \[\begin{aligned} M &= \iint_R \rho\,\dd(x,y)\\[0.25cm] &= \rho\, \int_{x=0}^{x=3}\left(\int_{y=x^2}^{y=3 x}\dd y\right)\dd x\\[0.25cm] &= \rho \int_{x=0}^{x=3}\biggl[y\biggr]_{y=x^2}^{y=3 x}\\[0.25cm] &=\rho \int_{x=0}^{x=3} \left(3 x-x^2\right)\,\dd x\\[0.25cm] &= \rho\cdot \biggl[{{3}\over{2}}x^2-\frac{1}{3}x^3\biggr]_{x=0}^{x=3}\\[0.25cm] &= {{9}\over{2}}\rho \end{aligned}\] Hierna bepalen we op een soortgelijke wijze de statische momenten \(M_{y}\) en \(M_{x}\) : \[\begin{aligned} M_{y} &= \iint_R x\,\rho\,\dd(x,y)\\[0.25cm] &= \rho\int_{x=0}^{x=3}\left(\int_{y=x^2}^{y=3 x}x\, \dd y\right)\dd x\\[0.25cm] &= \rho \int_{x=0}^{x=3}\biggl[x\,y\biggr]_{y=x^2}^{y=3 x}\;\dd x\\[0.25cm] &=\rho \int_{x=0}^{x=3} \left(3 x^2-x^3\right)\,\dd x\\[0.25cm] &= \rho\cdot \biggl[x^3-\frac{1}{4}x^4\biggr]_{x=0}^{x=3}\\[0.25cm] &= {{27}\over{4}}\,\rho\\[1.0cm] M_{x} &= \iint_R y\,\rho\,\dd(x,y)\\[0.25cm] &= \rho\int_{x=0}^{x=3}\left(\int_{y=x^2}^{y=3 x}y\, \dd y\right)\dd x\\[0.25cm] &= \rho \int_{x=0}^{x=3}\biggl[\frac{1}{2}y^2\biggr]_{y=x^2}^{y=3 x}\\[0.25cm] &=\rho \int_{x=0}^{x=3} \left({{9}\over{2}} x^2-\frac{1}{2}x^4\right)\,\dd x\\[0.25cm] &= \rho\cdot \biggl[{{3}\over{2}}x^3-\frac{1}{10}x^5\biggr]_{x=0}^{x=3}\\[0.25cm] &= {{81}\over{5}}\,\rho \end{aligned}\] De coördinaten van het massamiddelpunt zijn nu als quotiënten uit te rekenen: \[\begin{aligned} \bar{x}&=\frac{M_{y}}{M}\\[0.25cm] &= \frac{{{27}\over{4}}\,\rho}{{{9}\over{2}}\,\rho}\\[0.25cm] &= {{3}\over{2}}\\[0.5cm] \bar{y}&=\frac{M_{x}}{M}\\[0.25cm] &= \frac{{{81}\over{5}}\,\rho}{{{9}\over{2}}\,\rho}\\[0.25cm] &= {{18}\over{5}}\end{aligned}\]
Traagheidsmomenten in twee dimensies Het 2D-traagheidsmoment \(M_{\ell}\) van \(R\) t.o.v. de lijn \(\ell\), ook wel oppervlaktetraagheidsmoment genoemd, is als volgt gedefinieerd: \[I_{\ell} = \iiint \delta(x,y)^2\,\rho(x,y)\,\dd(x,y,z)\] waarbij \[\delta(x,y)^2=\text{afstand van het punt }(x,y)\text{ tot de lijn }\ell\text.\] Twee speciale gevallen zijn de traagheidsmomenten t.o.v. de coördinaatassen: \[\begin{aligned} I_x &=\iint_R y^2\,\rho(x,y)\,\dd(x,y)\\[0.25cm]
I_{y} &=\iint_R x^2\,\rho(x,y,z)\,\dd(x,y)\end{aligned}\] Het traagheidsmoment \(I_O\) om de oorsprong, ook wel het polaire traagheidmoment genoemd, is gedefinieerd als \[\begin{aligned}I_O&=I_x+I_y\\[0.25cm] &=\iint \left((x^2+y^2\right)\,\rho(x,y)\,\dd(x,y)\end{aligned}\]
