Meervoudige integralen: Toepassingen van meervoudige integralen
Oppervlakteberekening van een 2D-gebied
De oppervlakte \(O\) van een gesloten en begrensd gebied \(R\) in de tweedimensionale ruimte wordt gegeven door de volgende formule: \[O=\iint_R\dd(x,y)\]
Bereken de oppervlakte van het gebied ingesloten door de grafieken van de functies \(\cos(x)\) en \(2\cos(x)\) en de verticale as via een dubbelintgraal. Bereken dus op deze manier de oppervlakte van het gearceerde gebied in onderstaand figuur.
Het gearceerd gebied, laten we het \(R\) noemen, bestaat uit alle punten \((x,y)\) waarvoor geldt dat \(0\le x\ \le \tfrac{1}{2}\pi\) en \(\cos(x)\le y\le 2\cos(x)\). De oppervlakte van het gearceerde gebied is dan als volgt te bepalen via een dubbelintegraal: \[\begin{aligned}\text{oppervlakte}&=\iint_R \dd(x,y)\\[0.25cm] &= \int_{x=0}^{x=\frac{1}{2}\pi}\left(\int_{y=\cos(x)}^{y=2\cos(x)}\dd y\right)\dd x\\[0.25cm]&= \int_{x=0}^{x=\frac{1}{2}\pi}\bigl(2\cos(x)-\cos(x)\bigr)\,\dd x\\[0.25cm] &=\int_{x=0}^{x=\frac{1}{2}\pi}\cos(x)\,\dd x\\[0.25cm] &=\biggl[\sin(x)\biggr] _{x=0}^{x=\frac{1}{2}\pi}\\[0.25cm] &=\sin(\tfrac{1}{2}\pi)-\sin(0)\\[0.25cm] &= 1-0\\[0.25cm] &= 1 \end{aligned}\] Merk op dat het na integratie in \(y\) neerkomt op de gebruikelijke bepaling van de oppervlakte van een gebied ingesloten door twee functies d.m.v. integratie van functies van één variabele.
Een dergelijke oppervlakteberekening kan ook in poolcoördinaten uitgevoerd worden wanneer het gebied zich gemakkelijker laat definiëren in deze coördinaten. We bekijken twee gevallen.
We bekijken een gebied dat in poolcoördinaten gedefinieerd als het gebied begrensd door twee halflijnen en een kromme gedefinieerd foor \(r=f(\varphi)\) zoals in onderstaand diagram als gearceerd gebied te zien is.
De oppervlakte \(O\) van het gearceerde gebied kan als volgt berekend worden: \[\begin{aligned}O&=\int_{\varphi=\alpha}^{\varphi=\beta}\left(\int_{r=0}^{r=f(\varphi)}\,r\,\dd r\right)\dd\varphi\\[0.25cm] &= \int_{\varphi=\alpha}^{\varphi=\beta}\biggl[\frac{1}{2}r^2\biggr]_{r=0}^{r=f(\varphi)}\;\dd\varphi\\[0.25cm] &= \frac{1}{2}\int_{\varphi=\alpha}^{\varphi=\beta}f(\varphi)^2\,\dd\varphi\end{aligned}\]
We bekijken een gebied dat in poolcoördinaten gedefinieerd als het gebied begrensd door twee halflijnen en twee krommen gedefinieerd foor \(r_0=f(\varphi)\) en \(r_1=g(\varphi)\) zoals in onderstaand diagram als gearceerd gebied te zien is.
De oppervlakte \(O\) van het gearceerde gebied kan op basis van de voorafgaande regel als volgt berekend worden: \[O=\frac{1}{2}\int_{\varphi=\alpha}^{\varphi=\beta}\left(f(\varphi)^2-g(\varphi)^2\right)\,\dd\varphi\]
Bereken de oppervlakte van het gebied binnen de kromme beschreven door \(r = 3 + 2\sin(\varphi)\) en buiten de kromme \(r = 2\) (zie het gearceerde deel van onderstaandfiguur).
We berekenen eerst de snijpunten van \(r = 3 + 2\sin(\varphi)\) en \(r = 2\). Die worden gegeven door waarden van \(\varphi\) die voldoen aan \(2 = 3 + 2\sin(\varphi)\). Dus \(\sin(\varphi) = -\frac{1}{2}\), zodat \(\varphi = -\frac{1}{6}\pi\) en \(\varphi = \frac{7}{6}\pi\). De gevraagde oppervlakte is daarmee gelijk aan \[\begin{aligned}
\frac{1}{2}\int_{-\frac{1}{6}\pi}^{\frac{7}{6}\pi}\bigl( (3 + 2 \sin(\varphi))^2 - 2^2\bigr) \, \dd\varphi &=
\frac{1}{2}\int_{-\frac{1}{6}\pi}^{\frac{7}{6}\pi} \bigl( 5 + 12 \sin(\varphi) + 4 \sin(\varphi)^2\bigr) \,\dd\varphi
\\[0.25cm]
&=\frac{1}{2} \int_{-\frac{1}{6}\pi}^{\frac{7}{6}\pi}\bigl( 7 + 12 \sin(\varphi) - 2\cos(2 \varphi)\bigr) \, \dd\varphi
\\[0.25cm]
&= \frac{1}{2}\biggl[ 7 \varphi - 12\cos(\varphi) -\sin(2\varphi) \biggr]_{-\frac{1}{6}\pi}^{\frac{7}{6}\pi}
\\[0.25cm]
&= \frac{14}{3}\pi+\frac{11}{2} \sqrt{3}
\end{aligned}\]
Tot slot bekijken we nog de oppervlakte van een oppervlak met vergelijking \(z=f(x,y)\). Hiervoor is ook een rekenregel af te leiden.
Stel \(f\) is een functie van twee variabelen \(x\) en \(y\) met continue partiële afgeleiden en gedefinieerd op een begrensd gebied \(R\) in het \(xy\)-vlak. Dan kan de oppervlakte \(O\) van het oppervlak \(z=f(x,y)\) in de 3-dimensionale ruimte boven het gebied \(R\) als volgt berekend worden: \[O=\iint_R \sqrt{1+\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)^2}\,\dd(x,y)\]
In een punt \((x,y)\) in \(R\) kunnen we het oppervlak met de vergelijking \(z=f(x,y)\) benaderen met het raakvlak in het punt \((x,y,f(x,y))\). De normaalvector \(\vec{n}\) van het raakvlak wordt gegeven door \[\vec{n}=\cv{-\dfrac{\partial f}{\partial x}\\-\dfrac{\partial f}{\partial y}\\1}\] Een oppervlakte-elementje \(\dd(x,y)=\dd x\dd y\) kunnen we verticaal projecteren op het raakvlak en levert dan de differentiaal \(\dd O\) van de gevraagde oppervlakte \(O\) op. Het oppervlak van het geprojecteerde oppervlakte-elementje schaalt met de factor \(1/\cos(\gamma)\), waarbij \(\gamma\) de hoek is tussen de normaalvector \(\vec{n}\) en de eenheidsvector \(\vec{e_3}\) in de \(z\)-richting. De situatie is in onderstaande figuur geschetst..
De factor \(1/\cos(\gamma)\) kunnen we m.b.v. het inproduct berekenen: \[\begin{aligned}\cos(\gamma)&=\frac{\vec{n}\boldsymbol{\cdot}\vec{e_3}}{\lVert\vec{n}\rVert\cdot \lVert\vec{e_3}\rVert}\\[0.25cm] &= \frac{1}{\sqrt{1+\left(\dfrac{\partial f}{\partial x}\right)^2+\left(\dfrac{\partial f}{\partial y}\right)^2}}\end{aligned}\] Dus: \[\dd O=\sqrt{1+\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)^2}\,\dd(x,y)\] oftewel \[O=\iint_R \sqrt{1+\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)^2}\,\dd(x,y)\]
