De dynamica van een eiwitconcentratie wordt niet alleen door de eiwitvorming via genexpressie bepaald, maar ook door de afbraak van het gevormde eiwit. We veronderstellen hier dat de afbraak via exponentieel verval te modelleren is met karakteristieke tijd \(\tau_\text{X}\). We beginnen met eiwitvorming via een activerende transcriptiefactor A. Dan geldt: \[\begin{aligned} \text{vormingssnelheid van eiwit X} &= \frac{V_{\max}\cdot [\text{A}]}{K_m+[\text{A}]}\\ \text{afbraaksnelheid van eiwit X} &= \frac{[\text{X}]}{\tau_\text{X}} \end{aligned}\]

De differentiaalvergelijking voor de eiwitconcentratie X wordt: \[\begin{aligned}\frac{\dd[\text{X}]}{\dd t}&= \text{vormingssnelheid}- \text{afbraaksnelheid}\\ &= \frac{V_{\max}\cdot [\text{A}]}{K_m+[\text{A}]}-\frac{[\text{X}]}{\tau_\text{X}}\end{aligned}\] Dit is een differentiaalvergelijking van begrensde exponentiële groei. We bepalen eerst de steady-state oplossing \([\text{X}_{ss}]\) door \(\frac{\dd[\text{X}]}{\dd t}\) gelijk te stellen aan nul: \[\frac{\dd[\text{X}_{ss}]}{\dd t}=\frac{V_{\max}\cdot [\text{A}]}{K_m+[\text{A}]}\cdot \tau_\text{X}\] De differentiaalvergelijking kan dan herschreven worden als \[\frac{\dd[\text{X}]}{\dd t}=\frac{1}{\tau_X}\left([\text{X}_{ss}]-[\text{X}]\right)\] Het concentratieverloop is dan \[[\text{X}]=[\text{X}_{ss}]\cdot\left(1-e^{-\frac{t}{\tau_\text{X}}}\right)\]