Regulatie van genexpressie: Dynamische systemen voor eiwitten
Genexpressie met negatieve feedback
Tot nu toe hebben we nog niet echt feedback op eiwitvorming geïntroduceerd; daarvoor is een netwerk van genen nodig. Het meest eenvoudige model voor negatieve feedback wordt door onderstaand schema voorgesteld [zie Figuur 8-76A in Alberts et al. (2015, editie 6, p. 515)].
Door een signaal start de expressie van het gen A naar het eiwit A. Dit gevormde eiwit is een activerende transcriptiefactor voor het gen R, dat op zijn beurt een eiwit R vormt dat als inhiberend regulatoreiwit fungeert voor de transcriptie van gen A.
Door de eerdere formules voor genexpressie te gebruiken komen we op het volgende stelsel van differentiaalvergelijkingen voor de eiwitten A en R: \[\begin{aligned}\frac{\dd[\text{A}]}{\dd t}&=\frac{V_\text{A}\cdot K_\text{R}}{K_\text{R}+[\text{R}]}-\frac{[\text{A}]}{\tau_\text{A}}\\ \\ \frac{\dd[\text{R}]}{\dd t}&=\frac{V_\text{R}\cdot [\text{A}]}{K_\text{A}+[\text{A}]}-\frac{[\text{R}]}{\tau_\text{R}}\end{aligned}\]
Door schaling kunnen we het stelsel differentiaalvergelijkingen reduceren tot het volgende stelsel voor twee grootheden \(u\) en \(v\) die horen bij de geschaalde concentraties van A en R: \[\begin{aligned} \frac{\dd u}{\dd t}&= \frac{\alpha}{1+v}-u\\ \\\frac{\dd v}{\dd t}&= \frac{\beta u}{1+u}-v\end{aligned}\] Bij modelleren wordt schaling veelvuldig toegepast om met minder parameters toe te kunnen en eenvoudigere stelsels te krijgen.
Laten we voor het gemak eens \(\alpha=\beta=1\) kiezen; dan krijgen we: \[\begin{aligned} \frac{\dd u}{\dd t}&= \frac{1}{1+v}-u\\ \\\frac{\dd v}{\dd t}&= \frac{u}{1+u}-v\end{aligned}\] We kunnen een evenwicht bepalen, in dit geval zelfs exact door uit te zoeken waar de twee afgeleiden in het stelsel differentiaalvergelijking tegelijkertijd gelijk aan nul zijn. In de theorie van dynamische systemen noemt men dit een singulier punt.
Voor een evenwicht \((u,v)\) moet gelden \[u=\frac{1}{1+v}\quad\text{en}\quad v=\frac{u}{1+u}\] Substitutie van de formule voor \(v\) in de eerste vergelijking geeft \[u = \frac{1}{1+\dfrac{u}{1+u}}\] oftewel door teller en noemer van het rechterlid met \(u+1\) te vermenigvuldigen \[u=\frac{u+1}{2u+1}\] Dus \[u(2u+1)=u+1\] oftwel \[2u^2=1\] De enige positieve oplossing is \[u=\tfrac{1}{2}\sqrt{2}\] Substitutie in de formule voor \(v\) en vereenvoudigen geeft \[v=\sqrt{2}-1\] Er is dus een evenwicht bij \[(u,v)=(\tfrac{1}{2}\sqrt{2}, \sqrt{2}-1)\]
Het blijkt nu dat oplossingen altijd in de loop van de tijd naar dit evenwicht gaan; het is een aantrekkend evenwicht. Dit zie je het beste in een zogenaamd faseportret. Dit is een figuur waar men vaak een aantal oplossingskrommen in één keer tekent en regelmatig het vectorveld horende bij het 2-dimensionale stelsel differentiaalvergelijkingen tekent. Bij elk punt \((u,v)\) in het faseportret kunnen we namelijk de vector \(\cv{u'\\v'}\) berekenen en tekenen in het vlak. In ons voorbeeld ziet het faseportret met bovendien een rode oplossingskromme die in \((u,v)=(2, 0.2)\) start als volgt uit:
