We veronderstellen opnieuw dat de afbraak via exponentieel verval te modelleren is met karakteristieke tijd \(\tau_\text{X}\). We beginnen met eiwitvorming via een inhiberende transcriptiefactor R. Dan geldt: \[\begin{aligned} \text{vormingssnelheid eiwit X} &= \frac{V_{\max}\cdot K_m}{K_m+[\text{R}]}\\ \text{afbraaksnelheid eiwit X} &= -\frac{[\text{X}]}{\tau_\text{X}} \end{aligned}\]

De differentiaalvergelijking voor de eiwitconcentratie X wordt: \[\begin{aligned}\frac{\dd[\text{X}]}{\dd t}&= \text{vormingssnelheid}- \text{afbraaksnelheid}\\ &= \frac{V_{\max}\cdot K_m}{K_m+[\text{R}]}-\frac{[\text{X}]}{\tau_\text{X}}\end{aligned}\] Dit is opnieuw een differentiaalvergelijking van begrensde exponentiële groei. We bepalen eerst de steady-state oplossing \([\text{X}_{ss}\) door \(\frac{\dd[\text{X}]}{\dd t}\) gelijk te stellen aan nul: \[[\text{X}_{ss}]=\frac{V_{\max}\cdot K_m}{K_m+[\text{R}]}\cdot \tau_\text{X}\] De differentiaalvergelijking kan dan herschreven worden als \[\frac{\dd[\text{X}]}{\dd t}=\frac{1}{\tau_X}\left([\text{X}_{ss}-[\text{X}]\right)\] Het concentratieverloop is dan \[[\text{X}]=[\text{X}_{ss}]\cdot\left(1-e^{-\frac{t}{\tau_\text{X}}}\right)\]