Kinetiek van de reactie A+B → C

Chemische reactiekinetiek: Tweede-orde reactiekinetiek

Kinetiek van de reactie A+B → C

De chemische reactie is van het type $\text{A}+\text{B }{\mathop{\longrightarrow}\limits_{}^{k}} \text{ C}$ met reactiesnelheidsconstante $k$ . Wanneer we er van uit gaan dat dit een elementaire reactie is, dan kunnen we het volgende stelsel van differentiaalvergelijkingen opstellen voor de concentraties van A en B: $\left\{\;\begin{aligned} \frac{\dd[\text{A}]}{\dd t}\;&= -k\, [\text{A}]\, [\text{B}] \\ \\ \frac{\dd[\text{B}]}{\dd t}\;&=-k\, [\text{A}]\, [\text{B}]\end{aligned} \right.$

$\phantom{x}$

Stel nu dat $x(t)$ de hoeveelheid van stof A per eenheid van volume die op tijdstip $t$ al gereageerd heeft. Dan is $x(t)$ ook de hoeveelheid van stof B per eenheid van volume die op tijdstip $t$ als gereageerd heeft. Als we de beginconcentraties van stof A resp stof B aanduiden met $a$ resp. $b$ , dan geldt dat $[\text{A}]=a-x$ en $[\text{B}]=b-x$ , en kunnen we het stelsel differentiaalvergelijkingen samenvatten tot de differentiaalvergelijking $\begin{aligned}\frac{\dd x}{\dd t} &=-\frac{\dd(a-x)}{\dd t}\\ \\ &=-\frac{\dd[\text{A}]}{\dd t}\\ \\ &= k\, [\text{A}]\, [\text{B}]\\ \\&=k\,(a-x)(b-x)\end{aligned}$

We onderscheiden nu twee gevallen.

In dit geval hebben we $\frac{\dd x}{\dd t}=k\,(a-x)^2$ hetgeen leidt tot $[A]=\frac{a}{1+k\,a\, t}$

Voor de liefhebber geven we het bewijs.

We schrijven $\frac{\dd x}{\dd t}=k\,(a-x)^2$ als $\frac{x'(t)}{\bigl(a-x(t)\bigr)^2}=k$ en met de rekenregels voor differentiëren als $\left(\frac{1}{a-x(t)}\right)'=k$ Dus: $\frac{1}{a-x(t)}=k\,t+C$ voor zekere constante $C$ . Substitutie van $t=0$ geeft $C=\frac{1}{a}$ Dus: $\frac{1}{a-x(t)}=k\,t+\frac{1}{a} = \frac{k\,a\,t+1}{a}$ Maar dan geldt $a-x(t)=\frac{a}{k\,a\,t+1}$ oftewel $[A]=\frac{a}{1+k\,a\, t}$

a ≠ b Ook nu is het concentratieverloop van stoffen A en B in exacte formulevorm te schrijven, maar dit valt buiten de leerdoelen (ook al leren we alle benodigde technieken). We geven alleen een simulatie om mee te spelen.

0,0

0.40

$k$

$[A]$

$[B]$