Chemische reactiekinetiek: Kinetiek van meervoudige reacties
Opeenvolgende reacties: A → B → C
We bekijken twee opeenvolgende chemische reacties van het type \[\text{A }{\mathop{\longrightarrow}\limits_{}^{k_1}} \text{ B }{\mathop{\longrightarrow}\limits_{}^{k_2}} \text{ C}\] met reactiesnelheidsconstanten \(k_1\) en \(k_2\). Wanneer we er van uit gaan dat zowel \(\text{A }{\mathop{\longrightarrow}\limits_{}^{k_1}} \text{ B}\) als \(\text{B }{\mathop{\longrightarrow}\limits_{}^{k_2}} \text{ C}\) een elementaire reactie is, dan kunnen we het volgende stelsel van differentiaalvergelijkingen opstellen voor de concentraties van A, B en C: \[ \left\{\begin{aligned} \frac{\dd[\text{A}]}{\dd t} &= -k_1\, [\text{A}] \\ \\ \frac{\dd[\text{B}]}{\dd t} &=k_1\, [\text{A}]-k_2\, [\text{B}]\\ \\ \frac{\dd[\text{C}]}{\dd t} &= k_2\, [\text{B}]\end{aligned} \right.\]
De concentraties van elke stof kunnen exact berekend worden, gegeven de beginconcentraties \([\text{A}]_0\), \([\text{B}]_0\), \([\text{C}]_0\). We bekijken het geval dat \([\text{B}]_0=0, [\text{C}]_0=0\): \[ \left\{\begin{aligned} {[\text{A}]} &= [\text{A}]_0e^{-k_1t} \\ \\ [\text{B}] &= \left\{\begin{array}{lr} [\text{A}]_0k_1\,t\,e^{-k_1t} & \text{als }k_1=k_2 \\ \\ \dfrac{ [\text{A}]_0\,k_1}{k_2-k_1}\left(e^{-k_1t}-e^{-k_2t}\right) & \text{als }k_1\neq k_2 \end{array} \right. \\ \\ [\text{C}] &= [\text{A}]_0-[\text{A}]-[\text{B}]\end{aligned} \right.\]
We geven een simulatie om mee te exploreren. Ga bijvoorbeeld eens na dat als \(k_1\ll k_2\) de concentratie van stof B laag blijft omdat B snel omgezet wordt in C en dat de kinetiek dus weinig verschilt van die van \(\text{A}{\mathop{\longrightarrow}\limits_{}^{k_1}}\text{C}\). Omgekeerd betekent \(k_2\ll k_1\) dat dan een hoge concentratie van stof B wordt bereikt omdat de tweede reactie \(\text{B }{\mathop{\longrightarrow}\limits_{}^{k_2}}\text{ C}\) traag verloopt en dat stof B dan pas verdwijnt als er nagenoeg geen stof A over is om nog omgezet te worden.
Een concreet voorbeeld van twee opeenvolgende reacties is de thermische ontleding van dimethylether \[\text{CH}_3\text{OCH}_3\longrightarrow \text{CH}_4 + \text{CH}_2\text{O}\longrightarrow \text{CH}_4 + \text{CO} +\text{H}_2\]
Maar dit kinetisch model is ook toepasbaar in kwantitatieve farmacokinetiek. Dan hebben we bij orale inname van een medicijn bijvoorbeeld te maken met een 2-compartimentenmodel. Dit bestaat uit het maag-darmkanaal vanwaaruit het farmacon (de werkzame stof) opgenomen wordt, met absorptiesnelheidsconstante \(k_a\), in wat het centrale compartiment heet. Uit dit centrale compartiment wordt het farmacon geëlimineerd met eliminatiesnelheidsconstante \(k_e\). Onderstaand plaatje visualiseert het compartimentenmodel.
Stel dat \(A_\text{darm}\) resp \(A\) de hoeveelheid van het farmacon in het maag-darmkanaal resp. in het centrale compartiment is, dan geldt: \[ \left\{\begin{aligned} \frac{dA_\text{darm}}{\dd t} &= -k_aA_\text{darm} \\ \\ \frac{dA}{\dd t} &=k_aA_\text{darm}-k_eA\end{aligned} \right.\] Voor de hoeveelheid van het farmacon in het centrale compartiment geldt dan de biexponentiële formule \[A=c\cdot (e^{-k_et}-e^{-k_at})\] voor zekere positieve constante \(c\).