Ter herinnering schrijven we de Nernstvergelijking en de gelineariseerde GHK-vergelijking nogmaals op.
De evenwichtspotentiaal van een ion is gegeven door \[E_\mathrm{ion}= \frac{RT}{zF}\cdot \ln\left(\frac{C_{\mathrm{e}}}{C_{\mathrm{i}}}\right) = -\frac{RT}{zF}\cdot \ln\left(\frac{C_{\mathrm{i}}}{C_{\mathrm{e}}}\right)\] Deze potentiaal geeft de rustmembraanpotentiaal weer in een model van de cel met één ionsoort en één ionkanaal, en de waarde hangt af van de absolute temperatuur \(T\), de valentie \(z\) (het aantal ladingseenheden per ion) en de ionconcentraties binnen (\(C_{\mathrm{i}}\)) en buiten (\(C_{\mathrm{e}}\)) de cel ter plaatse van het membraan. \(R\) is de gasconstante en \(F\) de constante van Faraday (gelijk aan de lading van een mol eenwaardige ionen). Bij een temperatuur van \(29.25{}^{\circ}\mathrm{C}\) kun je de Nernstpotentiaal ook berekenen met de formule \[E_\mathrm{ion}= \frac{60}{z} \log_{10}\left(\frac{C_{\mathrm{e}}}{C_{\mathrm{i}}}\right)\]
De gelineariseerde GHK-vergelijking bij twee ionkanalen, zeg bij kalium en natrium ionkanalen, stelt je in staat om de rustmembraanpotentiaal \(V_m\) te berekenen: \[V_m=\frac{g_\mathrm{K}}{g_\mathrm{K}+g_\mathrm{Na}}\cdot E_\mathrm{K} + \frac{g_\mathrm{Na}}{g_\mathrm{K}+g_\mathrm{Na}}\cdot E_\mathrm{Na}\]
Gebruik onderstaande simulatie om met het begrip membraanpotentiaal in een kunstmatige cel met twee ionsoorten, te weten \(\mathrm{K}^{+}\) en \(\mathrm{Na}^{+}\), te oefenen en de volgende vragen te beantwoorden. Bedenk eerst alle antwoorden en controleer ze daarna in de toelichting.
De begintoestand in de simulatie representeert een "rusttoestand" waarbij er een relatief hoge geleidbaarheid van kalium is t.o.v. van die van natrium. We zetten "rusttoestand" tussen aanhalingstekens omdat er wel steeds ionstromen door het membraan gaan. De hierbij passende stroomsterktes staan rechts. Er is netto een nulstroom want de ionstroomsterktes door transport van natrium en kalium zijn tegengesteld. Een natrium-kalium pomp zorgt voor het in stand houden van de ionconcentratieverschillen binnen en buiten de cel. Deze staat aan in de simulatie, maar kan uitgezet worden en dan zie je versneld in beeld wat er gebeurt.
Klik op de link Simulatie van membraanpotentiaal als je de simulatie in een apart venster (in breedbeeld) wilt gebruiken.
- Bereken met de gegeven formules de Nernstpotentiaal voor kalium en natrium alsmede de membraanpotentiaal en controleer jouw antwoorden met de waarden die in de simulatie staan.
- Bereken de stroomsterkte van de kalium- en natriumkanalen en controleer jouw antwoorden met de waarden die in de simulatie staan.
- Wat verwacht je dat er gebeurt als de Na/K-pomp stopt met werken? Geef een verklaring alvorens in de simulatie de pomp uit te zetten door op de aan/uit knop te klikken;
- Reset de animatie en verhoog de geleidbaarheid van het natriumkanaal, uitgaande van de begintoestand, en ga het effect na op de membraanpotentiaal \(V_\mathrm{m}\) en de stroomsterktes \(I_\mathrm{K}\) en \(I_\mathrm{Na}\).
- Verhoog de geleidbaarheid van het kaliumkanaal en ga het effect na op de membraanpotentiaal \(V_\mathrm{m}\) en de stroomsterktes \(I_\mathrm{K}\) en \(I_\mathrm{Na}\).
- Depolarisatie houdt in dat de membraanpotentiaal \(V_\mathrm{m}\) (sterk) toeneemt. Bedenk 4 manieren om een membraan te depolariseren en controleer dat in de simulatie.
- Repolarisatie houdt in dat de membraanpotentiaal \(V_\mathrm{m}\) (sterk) afneemt. Bedenk 4 manieren om een membraan te repolariseren.
- Hoe kan je de membraanpotentiaal wijzigen zonder dat je de ionconcentraties en de geleidbaarheid van het membraan verandert?
- De formules leiden tot de volgende antwoorden (met extra decimalen in tussenstappen): \[\begin{aligned} E_\mathrm{K}&=60\log_{10}\left(\frac{[\mathrm{K}^{+}]_\mathrm{e}}{[\mathrm{K}^{+}]_\mathrm{i}}\right) \\ &= 60\log_{10}\left(\frac{20}{400}\right) \\ &= -60\log_{10}(20) \\ &= -78.0618 \approx 78.1\,\mathrm{mV} \\ \\
E_\mathrm{Na} &=60\log_{10}\left(\frac{[\mathrm{Na}^{+}]_\mathrm{e}}{[\mathrm{Na}^{+}]_\mathrm{i}}\right) \\ &= 60\log_{10}\left(\frac{430}{50}\right) \\ &= -60\log_{10}(8.6) \\ &= 56.0699\approx 56.1\,\mathrm{mV} \\ \\
V_\mathrm{m} &=\frac{g_\mathrm{K}}{g_\mathrm{K}+g_\mathrm{Na}}\cdot E_\mathrm{K} + \frac{g_\mathrm{Na}}{g_\mathrm{K}+g_\mathrm{Na}}\cdot E_\mathrm{Na} \\ &= 0.9\cdot -78.0618+ 0.1\cdot 56.0699 = -64.6486\approx -64.6\,\mathrm{mV} \end{aligned}\]
- De wet van Ohm leidt tot de volgende resultaten (met extra decimalen in tussenstappen):
\[\begin{aligned} I_\mathrm{K}&=g_\mathrm{K}(V_\mathrm{m} -E_\mathrm{K}) \\ &= 9.0\bigl(-64.6486-(-78.0618)\bigr) \\ &= 120.7188\approx 120.7 \mu\mathrm{A/cm}^2 \\ \\
I_\mathrm{Na}&=g_\mathrm{Na}(V_\mathrm{m} -E_\mathrm{Na}) \\ &= 1.0\bigl(-64.6486-56.0699) \\ &= 120.7185 \approx 120.7 \mu \mathrm{A/cm}^2 \end{aligned}\]
- Als de Na/K-pomp stopt met werken dan stroomt kalium van binnen naar buiten de cel, want er is een positieve stroomsterkte voor het kaliumion omdat de membraanpotentiaal hoger is dan de Nernstpotententiaal van kalium. Net zo stroomt er natrium van buiten naar binnen toe. Tengevolgen van de ionenstromen komt de Nertstpotentiaal van kalium hoger te liggen en die van natrium lager. Ook wordt de membraanpotentiaal hierdoor minder negatief. Omdat de som van de startconcentraties van de ionen binnen de cel gelijk is aan de de som van de startconcentraties van de ionen buiten de cel (en dat zo blijft) zullen uiteindelijk de potentialen en ionstromen gelijk aan nul worden. Dit zie je versneld in de simulatie gebeuren
- De gelineariseerde Goldman-Hodgkin-Katz vergelijking is te schrijven als gewogen som van Nernstpotentialen \[V_\mathrm{m}=\alpha\cdot E_\mathrm{K}+\beta\cdot E_\mathrm{Na}\] met \[\alpha = \frac{g_\mathrm{K}}{g_\mathrm{K}+g_\mathrm{Na}}\quad\text{en}\quad \frac{g_\mathrm{Na}}{g_\mathrm{K}+g_\mathrm{Na}}\] Als de geleidbaarheid \(g_\mathrm{Na}\) toeneemt, wordt \(\alpha\) kleiner en \(\beta\) groter. De membraanpotentiaal, als gewogen som van Nernstpotentialen, schuift in de richting van de Nernstpotentiaal van natrium op en komt dus hoger te liggen. Het potentiaalverschil \(V_\mathrm{m}-E_\mathrm{K}\) wordt dus groter en de stroomsterkte \(I_\mathrm{K}\) zal groter worden in absolute waarde omdat deze evenredig met het potentiaalverschil is. Met andere woorden, meer kaliumionen stromen van binnen naar buiten de cel. De ionstromen van kalium en natrium blijven elkaar opheffen en dus zullen er ook meer natrium ionen van buiten naar binnen gaan stromen. De stroomsterkte van de natriumkanalen zal dus in absolute waarde ook toenemen. Dit is ook allemaal te constateren in de simulatie.
- Als de geleidbaarheid \(g_\mathrm{K}\) toeneemt, wordt \(\alpha\) groter en \(\beta\) kleiner. De membraanpotentiaal, als gewogen som van Nernstpotentialen, schuift in de richting van de Nernstpotentiaal van kalium op en komt dus lager te liggen. Het potentiaalverschil \(V_\mathrm{m}-E_\mathrm{Na}\) wordt dus groter en de stroomsterkte \(I_\mathrm{Na}\) zal groter worden in absolute waarde omdat deze evenredig met het potentiaalverschil is. Met andere woorden, meer natriumionen stromen van buiten naar binnen de cel. De ionstromen van kalium en natrium blijven elkaar opheffen en dus zullen er ook meer kalium ionen van binnen naar buiten gaan stromen. De stroomsterkte van kaliumkanalen zal dus in absolute waarde ook toenemen. Dit is ook allemaal te constateren in de simulatie.
- Vier manieren om een membraan te polariseren zijn
- Maak de geleidbaarheid van natriumkanalen \(g_\mathrm{Na}\) groter;
- Maak de geleidbaarheid van kaliumkanalen \(g_\mathrm{K}\) kleiner;
- Maak het quotiënt \([\mathrm{Na}]_\mathrm{e}/[\mathrm{Na}]_\mathrm{i}\) groter (door bijvoorbeeld de natriumconcentratie buiten de cel te verhogen want dan gaat \(E_\mathrm{Na}\) omhoog);
- Maak het quotiënt \([\mathrm{K}]_\mathrm{e}/[\mathrm{K}]_\mathrm{i}\) groter (door bijvoorbeeld de kaliumconcentratie buiten de cel te verhogen want dan gaat \(E_\mathrm{K}\) omhoog).
Je kunt alle manieren in de simulatie verifiëren.
- Vier manieren om een membraan te repolariseren zijn
- Maak de geleidbaarheid van natriumkanalen \(g_\mathrm{Na}\) kleiner;
- Maak de geleidbaarheid van kaliumkanalen \(g_\mathrm{K}\) groter;
- Maak het quotiënt \([\mathrm{Na}]_\mathrm{e}/[\mathrm{Na}]_\mathrm{i}\) kleiner (door bijvoorbeeld de natriumconcentratie buiten de cel te verlagen);
- Maak het quotiënt \([\mathrm{K}]_\mathrm{e}/[\mathrm{K}]_\mathrm{i}\) kleiner (door bijvoorbeeld de kaliumconcentratie buiten de cel te verlagen).
Je kunt alle manieren in de simulatie verifiëren.
- Je kunt de membraanpotentiaal wijzigen zonder dat je de ionconcentraties en de geleidbaarheid van het membraan verandert door de geleidbaarheid van de kalium- en natriumkanalen (\(g_\mathrm{K}\) en \(g_\mathrm{Na}\)) te veranderen zonder de som van de geleidbaarheden wijzigt (dus, \(g_\mathrm{K}+g_\mathrm{Na}\) constant houden). Je kunt dit verifiëren in de simulatie.
Simulaties van membraanpotentiaal bij twee ionsoorten
