De Goldman-Hodgkin-Katz spanningsvergelijking

Bioelektriciteit: Elektrisch model van het celmembraan

De Goldman-Hodgkin-Katz spanningsvergelijking

We hebben al gezien hoe de rustmembraanpotentiaal voor twee ionsoorten en ionkanalen beschreven kan worden als een gewogen som van de Nernstpotentialen van de ionen. De weging hing af van de relatieve geleidbaarheden van de ionsoorten. Zo'n formule kunnen we ook bij meerdere ionsoorten opschrijven, bijvoorbeeld voor de belangrijkste eenwaardige ionen (kalium, natrium, chloride)

De gelineariseerde GHK-vergelijking bij 3 ionkanalen De gelineariseerde GHK-vergelijking voor de belangrijkste eenwaardige ionen (kalium, natrium, chloride) luidt als volgt: \[V_m=\frac{g_\mathrm{K}E_\mathrm{K}+g_\mathrm{Na}E_\mathrm{Na}+g_\mathrm{Cl}E_\mathrm{Cl}}{g_\mathrm{K}+g_\mathrm{Na}+g_\mathrm{Cl}}\]

Maar eigenlijk is de situatie ingewikkelder omdat de geleidbaarheid van een ion afhankelijk is van de concentratie van het ion. Een betere maat is permeabiliteit (doorlaatbaarheid). Voor de belangrijkste eenwaardige ionen (kalium, natrium, chloride) in de cel krijg je dan de volgende vergelijking, die bekend staat als de Goldman-Hodgkin-Katz spanningsvergelijking of kortweg als de GHK spanningsvergelijking

GHK spanningsvergelijking \[\begin{aligned} V_m&=-\frac{RT}{F}\cdot \log_{10}\left(\frac{P_\mathrm{K}[\mathrm{K}^{+}]_\mathrm{i}+P_\mathrm{Na}[\mathrm{Na}^{+}]_\mathrm{i}+P_\mathrm{Cl}[\mathrm{Cl}^{-}]_\mathrm{e}}{P_\mathrm{K}[\mathrm{K}^{+}]_\mathrm{e}+P_\mathrm{Na}[\mathrm{Na}^{+}]_\mathrm{e}+P_\mathrm{Cl}[\mathrm{Cl}^{-}]_\mathrm{i}}\right)\\ \\ &= \frac{RT}{F}\cdot \log_{10}\left(\frac{P_\mathrm{K}[\mathrm{K}^{+}]_\mathrm{e}+P_\mathrm{Na}[\mathrm{Na}^{+}]_\mathrm{e}+P_\mathrm{Cl}[\mathrm{Cl}^{-}]_\mathrm{i}}{P_\mathrm{K}[\mathrm{K}^{+}]_\mathrm{i}+P_\mathrm{Na}[\mathrm{Na}^{+}]_\mathrm{i}+P_\mathrm{Cl}[\mathrm{Cl}^{-}]_\mathrm{e}}\right)\end{aligned}\] waarbij de \(P\)'s staan voor de permeabiliteit van het membraan voor het specifieke ion en de ionconcentraties zowel binnen (index 'i') als buiten (index 'e') gegeven zijn.

Let op dat de negatieve valentie van het chloride ion al in de GHK spanningsvergelijking verstopt is door in de teller en noemer de binnen-en buitenconcentratie ten opzichte van het kalium- en natriumion om te wisselen. Anders gezegd, we hebben de rekenregel \(-\log\left(\frac{A}{B}\right)=\log\left(\frac{B}{A}\right)\) toegepast.

Om de rustmembraanpotentiaal uit te kunnen rekenen met behulp van de GHK spanningvergelijking hoeven we alleen de verhouding tussen ionpermiabiliteit te kennen.

Bij een temperatuur van \(29.25\;{}^{\circ}\mathrm{C}\) wordt de benodigde formule voor de membraanspanning in mV: \[V_m= 60 \cdot \log_{10}\left(\frac{P_\mathrm{K}[\mathrm{K}^{+}]_\mathrm{e}+P_\mathrm{Na}[\mathrm{Na}^{+}]_\mathrm{e}+P_\mathrm{Cl}[\mathrm{Cl}^{-}]_\mathrm{i}}{P_\mathrm{K}[\mathrm{K}^{+}]_\mathrm{i}+P_\mathrm{Na}[\mathrm{Na}^{+}]_\mathrm{i}+P_\mathrm{Cl}[\mathrm{Cl}^{-}]_\mathrm{e}}\right)\]

Voor wie zich afvraagt hoe de GHK spanningsvergelijking er uit gaat zien als ook het calcium ion (\(\mathrm{Ca}^{2+}\)) in de discussie meegenomen wordt: de formules worden veel ingewikkelder (zie hieronder de berekening), maar het effect van calcium in fysiologische praktijksituaties van een cel in rust is zo gering dat je het meestal beter buiten de beschouwing kunt laten. De berekening is als volgt: \[V_m=\frac{RT}{F}\cdot\log_{10}(y)\] met \(\displaystyle y=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\) het nulpunt van de kwadratische vergelijking \[ay^2+by+c=0\] waarbij \[\begin{aligned}a&=4P_\mathrm{Ca}^{2+}[\mathrm{Ca}^{2+}]_\mathrm{i}+P_\mathrm{K}[\mathrm{K}^{+}]_\mathrm{i}+P_\mathrm{Na}[\mathrm{Na}^{+}]_\mathrm{i}+P_\mathrm{Cl}[\mathrm{Cl}^{-}]_\mathrm{e} \\ \\ b&= P_\mathrm{K}[\mathrm{K}^{+}]_\mathrm{i}+P_\mathrm{Na}[\mathrm{Na}^{+}]_\mathrm{i} +P_\mathrm{Cl}[\mathrm{Cl}^{-}]_\mathrm{e}- P_\mathrm{K}[\mathrm{K}^{+}]_\mathrm{e}-P_\mathrm{Na}[\mathrm{Na}^{+}]_\mathrm{e}-P_\mathrm{Cl}[\mathrm{Cl}^{-}]_\mathrm{i}\\ \\ c&= -(4P_\mathrm{Ca}^{2+}[\mathrm{Ca}^{2+}]_\mathrm{e}+P_\mathrm{K}[\mathrm{K}^{+}]_\mathrm{e}+P_\mathrm{Na}[\mathrm{Na}^{+}]_\mathrm{e}+P_\mathrm{Cl}[\mathrm{Cl}^{-}]_\mathrm{i})\end{aligned}\] In het geval \(P_{\mathrm{Ca}^{2+}}=0\) krijg je precies de eerdere GHK spanningsvergelijking terug.

Naar de eerdere vergelijking m.b.v. geleidbaarheden refereren we als de gelineariseerde GHK spanngingsvergelijking. Wat we hiermee bedoelen wordt in het volgende voorbeeld duidelijk.

Als we de GHK vergelijking beperken tot alleen natrium en kalium, dan reduceert de GHK spanningsvergelijking (met \(P_\mathrm{Cl}=0\)) bij een temperatuur van \(37\;{}^{\circ}\mathrm{C}\) tot \[V_m= 61.5 \cdot \log_{10}\left(\frac{P_\mathrm{K}[\mathrm{K}^{+}]_\mathrm{e}+P_\mathrm{Na}[\mathrm{Na}^{+}]_\mathrm{e}}{P_\mathrm{K}[\mathrm{K}^{+}]_\mathrm{i}+P_\mathrm{Na}[\mathrm{Na}^{+}]_\mathrm{i}}\right)\] Dit kun je herleiden tot \[V_m= 61.5 \cdot \log_{10}\left(\frac{[\mathrm{K}^{+}]_\mathrm{e}+\alpha[\mathrm{Na}^{+}]_\mathrm{e}}{[\mathrm{K}^{+}]_\mathrm{i}+\alpha[\mathrm{Na}^{+}]_\mathrm{i}}\right)\] met \(\displaystyle\alpha = \frac{P_\mathrm{Na}}{P_\mathrm{K}}\) (nota bene, bij een temperatuur van \(29.25\;{}^{\circ}\mathrm{C}\) moet je \(61.5\) in deze formule vervangen door \(60\)).

Als \(\alpha=0\), dat wil zeggen geen doorlaatbaarheid van natriumionen, dan hebben we de Nernstvergelijking voor kalium. Wanneer we dan de membraanspanning (in mV) uitzetten tegen de logaritme van de kaliumconcentratie buiten de cel, dan krijgen we een rechte lijn met helling gelijk aan 61.5. In onderstaande figuur zie je met een logaritmische schaalverdeling op de horizontale as de spanning uitgezet tegen de kaliumconcentratie buiten de cel voor verschillende waarden van \(\alpha\).

V_m versus [K]_buiten

Duidelijk is te zien dat voor kleine waarden van \(\alpha\) (en \(\alpha=0.01\) is een realistische waarde) de kromme dicht bij de rechte lijn benadering ligt bij een voldoende grote kaliumconcentratie buiten de cel. Dit is wat we bedoelen wanneer we zeggen dat de gelineariseerde GHK spannings goed de m.b.v. de GHK spanningsvergelijking berekende spanning benadert.

Laten we ook eens een getallenvoorbeeld bekijken voor een zenuwcel, namelijk de reuze-axon van een pijlinktvis, in rust bij een temperatuur van \(37\;{}^{\circ}\mathrm{C}\). In onderstaande tabel staan de noodzakelijke gegevens en tussenresultaten. \[
\begin{array}{l|rrrrc}
\mathrm{ion\;} X & [X]_\mathrm{i} & [X]_\mathrm{e} & P_X / P_\mathrm{K} & E_\mathrm{ion}\;(\mathrm{mV}) \\ \hline
\mathrm{K}^{+} & 400 & 20 & 1 & {}-80 \\
\mathrm{Na}^{+} & 50 & 460 & 0.03 & {}+59 \\
\mathrm{Cl}^{-} & 40 & 540 & 0.1 & {}-64 \\
\end{array}\] De rustmembraanpotentiaal bij de gegeven temperatuur is volgens de GHK spanningsvergelijking \[V_m=-61.5\cdot \log_{10}\left(\frac{1\times 400+0.03\times 50+0.1\times 540}{1\times 20+0.03\times 460+0.1\times 40}\right)\approx -66.5\;\mathrm{mV}\] Als we de chlorideionen weglaten in de berekening, dan zal de rustmembraanpotentiaal \(V_m\) berekend met de GHK spanningsvergelijking niet heel anders zijn; in dit geval: \[V_m=-61.5\cdot \log_{10}\left(\frac{1\times 400+0.03\times 50}{1\times 20+0.03\times 460}\right)\approx -66.1\;\mathrm{mV}\] Een vergelijkbaar resultaat krijg je als je de verhouding van kalium en natrium geleidbaarheid gelijk aan 1 : 0.1 veronderstelt en de gelineariseerde GHK spanningsvergelijking hanteert. Dan krijg je dan namelijk \[V_m = \frac{1\times -80 + 0.1\times 59}{1+0.1} \approx -67.4\;\mathrm{mV}\]

In onderstaande grafieken is de rustmembraanpotentiaal, berekend volgens de GHK spanningsvergelijking, uitgezet tegen een ionconcentratie buiten de cel, met een logaritmische schaal op de horizontale as. In de grafieken is af te lezen dat een verandering van kaliumconcentratie buiten de cel een groot effect heeft op de rustmembraanpotentiaal (rode grafiek) en dat een verandering in natriumconcentratie een veel kleiner effect heeft (blauwe grafiek). Dit ligt natuurlijk aan de verschillen in permeabiliteit van het kalium- en natriumion. Het ion met de grootste permeabiliteit (kalium) is het meest bepalend van de rustmembraanpotentiaal en hiervan is de verhouding in concentratie binnen en buiten de cel het meest bepalend voor de uiteindelijke rustmembraanpotentiaal. Concentratieveranderingen van andere ionsoorten, zoals het natriumion, hebben daarop veel minder effect.