Passieve geleiding en de kabelvergelijking

Bioelektriciteit: Geleidbaarheid langs een axon

Passieve geleiding en de kabelvergelijking

In een space-clamp experiment is de membraanspanning voor een geprepareerd gebied langs de zenuwvezel gelijk. Dit betekent dat de ruimtelijke organisatie van een cel buiten beschouwing blijft. Maar deze benadering is niet vol te houden voor een neuron met een lange zenuwvezel of een sterk vertakte boomstructuur van dendrieten. Om de verspreiding van elektrische lading langs een zenuwvezel te beschrijven maakt men gebruik van theorie over elektrische kabels. We gaan ons eerst bezighouden met de passieve verspreiding van elektrische lading langs het celmembraan. Dit houdt in dat de eigenschappen van het celmembraan als constant worden beschouwd en niet afhangen van bijvoorbeeld de membraanpotentiaal. Je kunt hierbij denken aan een experiment waarin je de potentiaal aan het begin van het axon verandert door voortdurende stroominjectie en dan net zo lang doorgaat tot er geen veranderingen in de tijd meer plaats vinden (dit noemen we de steady state). De membraanpotentiaal zal dan langs het axon langzaam afnemen doordat er tussendoor ook stroom door het membraan weg lekt. We gaan voor dit verval in membraanspanning een formule opstellen.

Elektrisch kabelmodel voor een axon We bespreken alleen een sterk vereenvoudigd model waarin

elektrische eigenschappen van de kabel (bijvoorbeeld membraancapaciteit, membraanweerstand en axiale weerstand) overal gelijk zijn;
de zenuwvezel cilindervormig is met constante diameter;
de extracellulaire vloeistof een verwaarloosbare weerstand heeft (d.w.z. gelijk aan 0 verondersteld wordt);
we voor het gemak met elektrische potentiaal t.o.v. de rustmembraanpotentiaal zullen werken.

Onderstaande figuur toont het elektrische model van een stuk cilindervormige kabel. Het laat de elektrische eigenschappen zien van het celmembraan met weerstand \(r_m\), parallel geschakeld aan de capaciteit \(c_m\), en axiale weerstand \(r_a\) van de intracellulaire vloeistof. Het membraan wordt voorgesteld als een serie van parallel geschakelde weerstanden en condensatoren. \(I_a\) en \(I_m\) zijn respectievelijk de axiale stroom en de membraanstroom.

De grootheden \(r_m\), \(r_a\) en \(c_m\) hebben steeds betrekking op een stukje axon van zekere eenheidslengte.

Elektrofysiologische grootheden en eenheden In onderstaande tabel staan de bijpassende eenheden, bijpassende specifieke grootheden, en andere veel gebruikte elektrofysiologische grootheden. \[\begin{array}{|l|l|l|} \hline \mathit{Grootheid} & \mathit{Eenheid} & \textit{Beschrijving}\\ \hline a & \text{µm} & \text{straal van een cilindrisch axon}\\ \hline r_m & \Omega\;\text{cm} & \text{membraanweerstand (per inverse eenheidslengte)}\\ & & (1/\text{geleidbaarheid per eenheidslengte}) \\ \hline r_a & \Omega/\text{cm} & \text{axiale weerstand (per eenheidslengte)}\\ \hline c_m & \text{µF}/\text{cm} & \text{membraancapaciteit (per eenheidslengte)}\\ \hline R_m =r_m\cdot 2\pi a & \Omega\;\text{cm}^2 & \text{specifieke membraanweerstand}\\ & & (1/\text{specifieke geleidbaarheid per eenheidsoppervlakte}) \\ \hline R_a =r_a\cdot \pi a^2& \Omega\;\text{cm} & \text{specifieke axiale weerstand (per dwarsdoorsnede)}\\ \hline C_m=c_m/(2\pi a) & \text{µF}/\text{cm}^2 & \text{specifieke membraancapaciteit (per eenheidsoppervlakte)} \\ \hline V_m & \text{mV} & \text{membraanpotentiaal}\\ \hline V_r & \text{mV} & \text{rustmembraanpotentiaal}\\ \hline i_m & \text{µA}/\text{cm} & \text{membraanstroomsterkte (per eenheidslengte)} \\ \hline i_a & \text{µA} & \text{axiale stroomsterkte}\\ \hline I_m=i_m/(2\pi a) & \text{µA}/\text{cm}^2 & \text{stroomdichtheid van het membraan}\\ \hline I_a=i_a/(\pi a^2) & \text{µA}/\text{cm}^2 & \text{specifieke axiale stroomsterkte (per dwarsdoorsnede)}\\ \hline\end{array}\]

De kabelvergelijking Beschouw een axon als een keten van opeenvolgende stukjes die

elk bestaan uit een membraandeel dat gemodelleerd wordt als parallelschakeling van een weerstand en een condensator;
onderling verbonden zijn met weerstanden die de geleiding in het axoplasma beschrijven (we verwaarlozen de weerstand van de extracellulaire vloeistof)

Ga uit van een cilindervormig axon met de as gelijk aan de positieve \(x\)-as. Stel dat je op tijdstip \(t=0\) op plek \(x=0\) de spanning verandert door een stroominjectie en deze spanningsverandering intact houdt door voortdurende stroominjectie. Deze stroom loopt door het axon, maar er lekt ook stroom weg door het membraan. Dit betekent dat de elektrische spanning \(V\) langs het axon niet overal gelijk is en ook van de tijd zal afhangen; dit geven we aan door \(V\) expliciet als functie van plaats en tijd te beschouwen, zeg \(V(x,t)\).

Deze plaats- en tijd-afhankelijke potentiaal is de oplossing van de volgende partiële differentiaalvergelijking, die de kabelvergelijking wordt genoemd, met randwaarde \(V(0,t)=V_0\): \[\lambda^2\cdot \frac{\partial^2 V}{\partial x^2}=\tau_m\cdot \frac{\partial V}{\partial t}+V, \qquad V(0,t)=V_0\] met \[\lambda=\sqrt{\frac{r_m}{r_a}}=\sqrt{\frac{a\cdot R_m}{2R_a}},\quad\tau=r_m\cdot c_m=R_m\cdot C_m\] Na voldoende lange tijd zal de membraanspanning langs het axon niet meer in tijd veranderen. We kunnen dan de membraanspanning als functie \(V(x)\) van plaats beschouwen en de partiële differentiaalvergelijking wordt de volgende gewone differentiaalvergelijking \[\lambda^2\cdot \frac{\dd^2V}{\dd x^2}=V, \qquad V(0)=V_0\] De oplossing van dit beginwaardeprobleem is een exponentiële vervalkromme \[V(x)=V(0)\cdot e^{-\frac{x}{\lambda}}\]

Voor de liefhebber geven we de afleiding van de kabelvergelijking.

Volgens de wet van Ohm is de axiale stroomsterke \(i_a\) evenredig met de potentiaalverandering in de lengterichting en op te schrijven als \[i_a=-\frac{1}{r_a}\cdot\frac{\partial V}{\partial x}\] waarbij \(r_a\) de axiale weerstand is in \(\Omega/\text{cm}\). Het minteken in deze vergelijking komt doordat de stroom van een hoge naar een lage potentiaal loopt. Dus \(I_a\) is positief als \(\dfrac{\partial V}{\partial x}\) negatief is. Het symbool \(\partial\) noteert partieel differentiëren, hier in de \(x\)-coördinaat. We gaan hier niet verder op in behalve door de partiële afgeleide te definiëren als \[\frac{\partial V}{\partial x}=\lim_{h\to 0}\frac{V(x+h,t)-V(x,t)}{h}\] en op te merken dat je de afgeleide naar \(x\) berekent door de variabele \(t\) als parameter te beschouwen en de gewone rekenregels voor differentiëren te gebruiken.

De axiale stroomsterke zal afnemen bij toenemende \(x\) omdat een deel van de stroom weg lekt door het membraan en zo een membraanstroom \(i_m\) tot stand brengt. Volgens de stroomwet van Kirchhoff geldt dat de afname van de axiale stroom langs het axon gelijk is aan de membraanstroom per lengte-eenheid \[i_m=-\frac{\partial i_a}{\partial x}\] Substitutie van de eerder gevonden formule voor de axiale stroom geeft een formule met een partiële afgeleide van 2de orde: \[i_m=\frac{1}{r_a}\cdot\frac{\partial^2 V}{\partial x^2}\] De membraanstroom \(i_m\) is voor de parallelschakeling van een weerstand (met \(V=I\cdot R\)) en een condensator (met \(Q=C\cdot V\)) gelijk aan de som van twee bijpassende termen: \[i_m= \frac{1}{r_m}\cdot V+c_m\cdot\frac{\partial V}{\partial t}\] Door de twee uitdrukkingen voor de stroomsterkte van het membraan gelijk te stellen krijg je: \[\begin{aligned} \frac{1}{r_a}\cdot \frac{\partial^2 V}{\partial x^2}&=\frac{1}{r_m}\cdot V+c_m\cdot\frac{\partial V}{\partial t}\\ \\ &= \frac{r_m}{r_a}\cdot \frac{\partial^2 V}{\partial x^2}=V+r_m\cdot c_m\cdot \frac{\partial V}{\partial t}\end{aligned}\] Dit is te herformuleren als \[\lambda^2\cdot \frac{\partial^2 V}{\partial x^2}=\tau_m\cdot \frac{\partial V}{\partial t}+ V\] met \[\lambda=\sqrt{\frac{r_m}{r_a}}=\sqrt{\frac{aR_m}{2R_a}},\quad\tau_m=r_m\cdot c_m=R_m\cdot C_m\] Hierbij is \(\lambda\) een ruimte- of plaatsconstante en \(\tau_m\) de al eerder geïntroduceerde tijdsconstante van het celmembraan.

Als de potentiaal op plaats \(x=0\) vastgezet wordt op de waarde \(V_0\) en we de steady state bereikt hebben (\(\frac{\partial V}{\partial t}=0\)), dan krijgen we het beginwaardeprobleem \[\lambda^2\cdot \frac{\dd^2 V}{\dd x^2}=V, \qquad V(0)=V_0\] en deze heeft als oplossing \[V(x)=V_0\cdot e^{-\frac{x}{\lambda}}\]