Differentiëren, afgeleide functies en Taylorbenaderingen: Raaklijn
Differentiequotiënt in een punt
Met behulp van het differentiequotiënt kunnen we de verandering in één punt van een grafiek benaderen. Het enige wat we hoeven te doen is het linkerpunt van het interval \([a,b]\) vast kiezen en de lengte \({\vartriangle}t\) van het interval steeds kleiner maken.
Voor een ‘nette’ functie \(f\) zal het differentiequotiënt dan in de buurt van een zeker getal, zeg \(m\), komen te liggen. We noemen dit getal \(m\) de helling van de grafiek in het punt \(\bigl(a,f(a)\bigr)\). Zoals we later zullen zien is dit getal \(m\) de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek van \(f\) in het punt \(\bigl(a,f(a)\bigr)\). Netheid van de functie in een punt \(\bigl(a,f(a)\bigr)\) wordt in wiskunde voorwoord als differentieerbaarheid in een punt, d.w.z. het bestaan van de limiet \(\displaystyle \lim_{{\vartriangle}\to 0}\dfrac{f(a+{\vartriangle}t)-f(a)}{{\vartriangle}t}\).
Voor de kwadratische veeltermfunctie \(f(t)=3t^2-2t-1\) berekenen we het differentiequotiënt op de intervallen \([1,1.1]\), \([1,1.01]\), \([1,1.001]\) en \([1,1.0001]\)
\[\begin{aligned}
{\vartriangle}t &= 0.1 & \frac{{\vartriangle}f}{{\vartriangle}t} &= \frac{f(1.1)-f(1)}{0.1}=\frac{0.433-0}{0.1}=4.3\\ \\{\vartriangle}t &= 0.01 & \frac{{\vartriangle}f}{{\vartriangle}t} &= \frac{f(1.01)-f(1)}{0.01}=\frac{0.0403-0}{0.01}=4.03\\ \\
{\vartriangle}t &= 0.001 & \frac{{\vartriangle}f}{{\vartriangle}t} &= \frac{f(1.001)-f(1)}{0.001}=\frac{0.004003-0}{0.001}=4.003\\ \\
{\vartriangle}t &= 0.0001 & \frac{{\vartriangle}f}{{\vartriangle}t} &= \frac{f(1.0001)-f(1)}{0.0001}=\frac{0.00040003-0}{0.0001}=4.0003
\end{aligned}\]
Je vermoedt nu wel dat \(\displaystyle \frac{{\vartriangle}f}{{\vartriangle}t}\to 4\) op het interval \(1,1+{\vartriangle}t\) als \({\vartriangle}t\to 0\). We zullen dit later verifiëren.
Je kunt dit ook exploreren in onderstaand interactief voorbeeld van de kwadraatfunctie.
In nevenstaand interactief diagram is de grafiek van de functie \(f(t)= t^2\) te zien met twee punten op de grafiek. Het onderste punt \(A=\bigl(t_A,f(t_A)\bigr)\) op de grafiek is vrij te bewegen door op de horizontale as het magenta-gekleurde punt te verslepen en het bovenste punt \(B=\bigl(t_B,f(t_B)\bigr)\) op de grafiek is verkregen door \(t_B=t_A+{\vartriangle}t\) te kiezen bij een horizontale verandering \({\vartriangle}t\). De horizontale verandering \({\vartriangle}t\) is dus: \[{\vartriangle}t =t_B-t_A\] De bijpassende verticale verandering is: \[\begin{aligned} {\vartriangle}f&=f(t_B) -f(t_A)\\[0.2cm] &= f(t_A+{\vartriangle}t)-f(t_A)\end{aligned}\] De gemiddelde toename \(\frac{{\vartriangle}f}{{\vartriangle}t}\) op het interval \([t_A,t_B]\) hangt in dit voorbeeld wel af van de keuze van het punt \(A\) en het interval (of zo men wil van de horizontale verandering \({\vartriangle}t\)); beweeg de schuifbalk of het punt \(A\) maar eens om dit waar te nemen. Naarmate je een kleinere horizontale verandering \({\vartriangle}t\) gaat bij een vaste keuze van het punt \(A\) de gemiddelde toename \(\frac{{\vartriangle}f}{{\vartriangle}t}\) richting een constante.
