Differentiëren, afgeleide functies en Taylorbenaderingen: Raaklijn
Raaklijn en hellingfunctie
We hebben al gezien dat voor een ‘nette’ functie het differentiequotiënt gebruikt kan worden om de helling van de grafiek in een vast gekozen punt te kunnen benaderen. Als we de eindpunten en op het interval met een rechte lijn met elkaar verbinden en steeds de duur van het interval verkleinen, dan zien we de verbindingslijn naar een zekere lijn toegaan die raakt aan de grafiek van in het punt . Speel maar eens met het interactieve diagram in onderstaand voorbeeld.
In nevenstaand interactief diagram is de grafiek van de functie te zien met twee punten op de grafiek. Het onderste punt op de grafiek is vrij te bewegen door op de horizontale as het magenta-gekleurde punt te verslepen en het bovenste punt op de grafiek is verkregen door te kiezen bij een horizontale verandering . De horizontale verandering is dus:
Dit brengt ons tot het begrip raaklijn. Dit is een rechte lijn door een punt op de grafiek van de functie met een helling die gelijk is aan de helling van de grafiek van in dat punt. Een raaklijn in een punt snijdt de grafiek in de omgeving van dat punt niet meer; de raaklijn raakt de grafiek alleen maar. In onderstaand interactief voorbeeld kun je de raaklijn in een willekeurig punt op de grafiek van een gegeven functie bekijken.
Raaklijn
Een lijn die de grafiek van een functie in een punt raakt heet een raaklijn. In nevenstaand diagram is de grafiek van de functie getekend, is een vrij te bewegen punt op de grafiek van geplaatst, en is de raaklijn in het punt getekend. De helling van de lijn is steeds gelijk aan de heling van de grafiek van in het punt .
Het punt is in dit voorbeeld vrij te bewegen en altijd is er een raaklijn in dit punt. Dit is wat er met 'netheid' van een functie bedoeld wordt. In wiskundige taal heet de functie dan differentieerbaar. Dit wil zeggen dat de functie differentieerbaar is in elk punt.
Hellingfunctie en hellinggrafiek Bij een gegeven 'nette' functie kun je op elk punt in het domein de helling van de grafiek bepalen, d.w.z. de richtingscoëfficiënt van de raaklijn in elk punt. Zo ontstaat een nieuwe functie: de hellingfunctie. De grafiek van de hellingfunctie heet de hellinggrafiek. Aan de hellinggrafiek is gemakkelijk af te lezen wat het gedrag van de functie is:
- Bij een dalend deel van de grafiek van een functie horen negatieve hellingen en dus ligt de hellinggrafiek daar onder de horizontale as
- Bij een stijgend deel van de grafiek van een functie horen positieve hellingen en dus ligt de hellinggrafiek daar boven de horizontale as
- In een lokaal maximum en minimum van een functie is de helling nul en dus snijdt de hellinggrafiek daar de horizontale as.
Hieronder staat aan de rechterkant de hellinggrafiek van de functie uit het vorige voorbeeld: het punt op de hellinggrafiek correspondeert met de raaklijn in het punt in de grafiek aan de linkerkant. Wanneer je verplaatst, verandert de raaklijn aan de grafiek en krijgt deze een andere richtingscoëfficiënt. Deze richtingscoëfficiënt is de verticale coördinaat van het punt en zo ontstaat de hellinggrafiek aan de rechterzijde van het interactieve diagram.