Differentiëren, afgeleide functies en Taylorbenaderingen: Raaklijn
Raaklijn en hellingfunctie
We hebben al gezien dat voor een ‘nette’ functie \(f\) het differentiequotiënt gebruikt kan worden om de helling van de grafiek in een vast gekozen punt te kunnen benaderen. Als we de eindpunten \(\bigl(a,f(a)\bigr)\) en \(\bigl(a+{\vartriangle}t,f(a+{\vartriangle}t)\bigr)\) op het interval \([a, a+{\vartriangle}t]\) met een rechte lijn met elkaar verbinden en steeds de duur \({\vartriangle}t\) van het interval verkleinen, dan zien we de verbindingslijn naar een zekere lijn toegaan die raakt aan de grafiek van \(f\) in het punt \(\bigl(a,f(a)\bigr)\). Speel maar eens met het interactieve diagram in onderstaand voorbeeld.
In nevenstaand interactief diagram is de grafiek van de functie \(f(t)= \tfrac{1}{3}e^t\) te zien met twee punten op de grafiek. Het onderste punt \(A=\bigl(t_A,f(t_A)\bigr)\) op de grafiek is vrij te bewegen door op de horizontale as het magenta-gekleurde punt te verslepen en het bovenste punt \(B=\bigl(t_B,f(t_B)\bigr)\) op de grafiek is verkregen door \(t_B=t_A+{\vartriangle}t\) te kiezen bij een horizontale verandering \({\vartriangle}t\). De horizontale verandering \({\vartriangle}t\) is dus: \[{\vartriangle}t =t_B-t_A\] De bijpassende verticale verandering is: \[\begin{aligned} {\vartriangle}f&=f(t_B) -f(t_A)\\[0.2cm] &= f(t_A+{\vartriangle}t)-f(t_A)\end{aligned}\] De gemiddelde toename \(\frac{{\vartriangle}f}{{\vartriangle}t}\) op het interval \([t_A,t_B]\) hangt in dit voorbeeld wel af van de keuze van het punt \(A\) en het interval (of zo men wil van de horizontale verandering \({\vartriangle}t\)); beweeg de schuifbalk of het punt \(A\) maar eens om dit waar te nemen. Naarmate je een kleinere horizontale verandering \({\vartriangle}t\) gaat bij een vaste keuze van het punt \(A\) de gemiddelde toename \(\frac{{\vartriangle}f}{{\vartriangle}t}\) richting een constante. De gemiddelde verandering op het interval \([t_A,t_B]\) is gelijk aan de helling van de lijn die de twee punten \(A\) en \(B\) verbindt. Wanneer je de punten dichter bij elkaar brengt door \({\vartriangle}t\) te verkleinen, dan zie je deze verbindingslijn naderen tot een vaste lijn met een zekere helling.
Dit brengt ons tot het begrip raaklijn. Dit is een rechte lijn door een punt op de grafiek van de functie \(f\) met een helling die gelijk is aan de helling van de grafiek van \(f\) in dat punt. Een raaklijn in een punt snijdt de grafiek in de omgeving van dat punt niet meer; de raaklijn raakt de grafiek alleen maar. In onderstaand interactief voorbeeld kun je de raaklijn in een willekeurig punt op de grafiek van een gegeven functie bekijken.
Raaklijn
Een lijn \(\ell\) die de grafiek van een functie \(f\) in een punt \(P\) raakt heet een raaklijn. In nevenstaand diagram is de grafiek van de functie \(f(t)=t^5-5t^3-t^2+4t+2\) getekend, is een vrij te bewegen punt \(P\) op de grafiek van \(f\) geplaatst, en is de raaklijn \(\ell\) in het punt \(P\) getekend. De helling van de lijn \(\ell\) is steeds gelijk aan de heling van de grafiek van \(f\) in het punt \(P\).
Het punt \(P\) is in dit voorbeeld vrij te bewegen en altijd is er een raaklijn in dit punt. Dit is wat er met 'netheid' van een functie bedoeld wordt. In wiskundige taal heet de functie \(f\) dan differentieerbaar. Dit wil zeggen dat de functie differentieerbaar is in elk punt.
Hellingfunctie en hellinggrafiek Bij een gegeven 'nette' functie kun je op elk punt in het domein de helling van de grafiek bepalen, d.w.z. de richtingscoëfficiënt van de raaklijn in elk punt. Zo ontstaat een nieuwe functie: de hellingfunctie. De grafiek van de hellingfunctie heet de hellinggrafiek. Aan de hellinggrafiek is gemakkelijk af te lezen wat het gedrag van de functie is:
- Bij een dalend deel van de grafiek van een functie horen negatieve hellingen en dus ligt de hellinggrafiek daar onder de horizontale as
- Bij een stijgend deel van de grafiek van een functie horen positieve hellingen en dus ligt de hellinggrafiek daar boven de horizontale as
- In een lokaal maximum en minimum van een functie is de helling nul en dus snijdt de hellinggrafiek daar de horizontale as.
Hieronder staat aan de rechterkant de hellinggrafiek van de functie uit het vorige voorbeeld: het punt \(P'\) op de hellinggrafiek correspondeert met de raaklijn in het punt \(P\) in de grafiek aan de linkerkant. Wanneer je \(P\) verplaatst, verandert de raaklijn aan de grafiek en krijgt deze een andere richtingscoëfficiënt. Deze richtingscoëfficiënt is de verticale coördinaat van het punt \(P'\) en zo ontstaat de hellinggrafiek aan de rechterzijde van het interactieve diagram.
