Afgeleiden van hyperbolische functies en hun inverse functies

Differentiëren, afgeleide functies en Taylorbenaderingen: Differentiëren van exponentiële en logaritmische functies

Afgeleiden van hyperbolische functies en hun inverse functies

In onderstaande tabel staan de afgeleiden van de hyperbolische functies en hun inversen.

$\begin{array}{|c|c|} \hline \mathit{functie} & \mathit{afgeleide} \\ \hline\\ \sinh(x) & \cosh(x) \\ \\ \cosh(x) & \sinh(x) \\ \\ \tanh(x) & \dfrac{1}{\cosh(x)^2}\\ \\ \hline\\ \mathrm{arsinh}(x) & \dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}} \\ \\ \mathrm{arcosh}(x) & \dfrac{1}{\sqrt{x-1}\sqrt{x+1}} \\ \\ \mathrm{artanh}(x) & \dfrac{1}{1-x^2}\\ \\ \hline \end{array}$ Wat onmiddellijk opvalt is dat de afgeleide van een hyperbolische functie zelf ook weer een hyperbolische functie is. Verder valt op dat de afgeleide van een inverse hyperbolische functie een functie wordt waarin geen hyperbolische functie meer voorkomt.

Ter illustratie bewijzen we voor de liefhebber enkele formules. $\begin{aligned}\frac{\dd}{\dd x}\sinh(x)&= \frac{\dd}{\dd x}\frac{e^x-\e^{-x}}{2}\\[0.25cm] &=\frac{e^x+\e^{-x}}{2}\\[0.25cm] &=\cosh(x)\\[0.25cm] \frac{\dd}{\dd x}\cosh(x)&=\frac{\dd}{\dd x}\frac{e^x+\e^{-x}}{2}\\[0.25cm] &= \frac{e^x-\e^{-x}}{2}\\[0.25cm] &= \sinh(x)\\[0.25cm]\frac{\dd}{\dd x}\mathrm{arsinh}(x) &= \frac{\dd}{\dd x}\ln\bigl(x+\sqrt{x^2+1}\bigr)\\[0.25cm]&=\frac{1+\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}}\cdot 2x}{x+\sqrt{x^2+1}}\\[0.25cm]&=\frac{1+\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}}{x+\sqrt{x^2+1}}\\[0.25cm] &=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\cdot \frac{x+\sqrt{x^2+1}}{x+\sqrt{x^2+1}}\\[0.25cm]&=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\end{aligned}$