De tangens functie heeft op het interval $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ een inverse functie die arctangens genoemd wordt en genoteerd wordt als $\arctan$; dus $$\tan\bigl(\arctan(x)\bigr)=x\tiny.$$ De grafiek van $\arctan$ ziet er als volgt uit:

Uit de definitie volgt dat $\arctan(1)=\frac{\pi}{4}$ en dus $$\pi=4\arctan(1)\tiny.$$ Als we een goede benadering van $\arctan(1)$ kunnen berekenen, dan kunnen we zo een goede benadering van het getal $\pi$ vinden. We doen dit door eerst een Taylorreeksbenadering van de arctangensfunctie te bepalen.

Voor de afgeleide van de tangensfunctie geldt: $$\frac{\dd \tan(x)}{\dd x}=\frac{1}{\cos^2x}=1+\tan^2(x)\tiny.$$ Uit de kettingregel volgt met $u=\arctan(x)$ dat $$\frac{\dd \tan(u)}{\dd u}\cdot \frac{\dd u}{\dd x}=1$$ en dus $$\bigl(1+\tan^2(u)\bigr)\cdot\frac{\dd \arctan(x)}{\dd x}=1$$ oftwel $$(1+x^2)\cdot\frac{\dd \arctan(x)}{\dd x}=1$$ Met andere woorden: $$\frac{\dd \arctan(x)}{\dd x}=\frac{1}{1+x^2}\tiny.$$ De Taylorreeks van het rechterlid rondom $x=0$ is eenvoudig uit te rekenen: $$\frac{1}{1+x^2}=1-x^2+x^4-x^6+x^8-x^{10}+\cdots=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\cdot x^{2k}\tiny.$$ Maar dan kunnen we ook wel een reeks vinden waarvan de afgeleide gelijk is aan bovenstaande Taylorreeks; dit is dan per constructie de Taylorreeks van $\arctan(x)$ rondom $x=0$. Er geldt: $$\arctan(x) = x-\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{5}x^5-\frac{1}{7}x^7+\frac{1}{9}x^9-\frac{1}{11}x^{11}+\cdots=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{2k+1}\cdot x^{2k+1}\tiny.$$