De tangens functie heeft op het interval \(\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)\) een inverse functie die arctangens genoemd wordt en genoteerd wordt als \(\arctan\); dus \[\tan\bigl(\arctan(x)\bigr)=x\tiny.\] De grafiek van \(\arctan\) ziet er als volgt uit:

Uit de definitie volgt dat \(\arctan(1)=\frac{\pi}{4}\) en dus \[\pi=4\arctan(1)\tiny.\] Als we een goede benadering van \(\arctan(1)\) kunnen berekenen, dan kunnen we zo een goede benadering van het getal \(\pi\) vinden. We doen dit door eerst een Taylorreeksbenadering van de arctangensfunctie te bepalen.

Voor de afgeleide van de tangensfunctie geldt:\[\frac{\dd \tan(x)}{\dd x}=\frac{1}{\cos^2x}=1+\tan^2(x)\tiny.\] Uit de kettingregel volgt met \(u=\arctan(x)\) dat \[\frac{\dd \tan(u)}{\dd u}\cdot \frac{\dd u}{\dd x}=1\] en dus \[\bigl(1+\tan^2(u)\bigr)\cdot\frac{\dd \arctan(x)}{\dd x}=1\] oftwel \[(1+x^2)\cdot\frac{\dd \arctan(x)}{\dd x}=1\] Met andere woorden: \[\frac{\dd \arctan(x)}{\dd x}=\frac{1}{1+x^2}\tiny.\] De Taylorreeks van het rechterlid rondom \(x=0\) is eenvoudig uit te rekenen: \[\frac{1}{1+x^2}=1-x^2+x^4-x^6+x^8-x^{10}+\cdots=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\cdot x^{2k}\tiny.\] Maar dan kunnen we ook wel een reeks vinden waarvan de afgeleide gelijk is aan bovenstaande Taylorreeks; dit is dan per constructie de Taylorreeks van \(\arctan(x)\) rondom \(x=0\). Er geldt: \[\arctan(x) = x-\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{5}x^5-\frac{1}{7}x^7+\frac{1}{9}x^9-\frac{1}{11}x^{11}+\cdots=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{2k+1}\cdot x^{2k+1}\tiny.\]