Afgeleide van een machtsfunctie

Differentiëren, afgeleide functies en Taylorbenaderingen: Differentiëren van machtsfuncties

Afgeleide van een machtsfunctie

Eerst maar eens een voorbeeld van een afgeleide van een machtsfunctie, berekend op basis van de basisdefinitie van afgeleide.

Bereken het differentiequotiënt van \(f(x)=x^{4}\) over het interval \([x,x+{\vartriangle}x]\) en bepaal hiermee de afgeleide functie \(f'(x)\).

\[\begin{aligned}
\frac{{\vartriangle}f}{{\vartriangle}x} &= \frac{f(x+{\vartriangle}x)-f(x)}{{\vartriangle}x}\\ \\
&= \frac{(x+{\vartriangle}x)^{4}-x^{4}}{{\vartriangle}x} \\ \\
&= \frac{x^4+4x^3\cdot({\vartriangle}x)+6x^2\cdot({\vartriangle}x)^2+4x\cdot({\vartriangle}x)^3+({\vartriangle}x)^4-x^{4}}{{\vartriangle}x} \\ \\
&= 4x^3+6x^2\cdot({\vartriangle}x)+4x\cdot({\vartriangle}x)^2+({\vartriangle}x)^3\\ \\
&\to {4}x^{3}\quad\mathrm{als\;}{\vartriangle}x\to 0
\end{aligned}\]
Dus: \(f'(x)={4}x^{3}\)

Nieuw voorbeeld

Bij het bekijken van voldoende voorbeelden wordt het patroon zichtbaar.

Afgeleide van een machtsfunctie De afgeleide van de functie \(f(x)=x^p\) is gelijk aan \(f'(x)=p\cdot x^{p-1}\) voor elk reëel getal \(p\) en elke \(x\) waarvoor \(x^p\) en \(x^{p-1}\) betekenis hebben.

Als \(f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}=x^{-\frac{1}{2}}\), dan \(f'(x)=-\tfrac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}-1}=-\tfrac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}\) mits \(x>0\).

Voor de liefhebber geven we twee bewijzen.

In het eerste bewijs veronderstellen we dat \(p\) een positief geheel getal is en gebruiken we de volgende rekenregel voor verschillen van machten: \[a^p-b^p=(a-b)(a^{p-1}+a^{p-2}b+a^{p-3}b^2+\cdots+a\,b^{p-2}+b^{p-1})\] Voor de afgeleide \(f'(a)\) in het punt \(x=a\) voor een zekere \(a\) geldt dan:
\[\begin{aligned}f'(a) &=\lim_{h\to 0}\frac{(a+h)^p-a^p}{h}\\[0.25cm]
&=\lim_{h\to 0}\frac{h\bigl((a+h)^{p-1}+(a+h)^{p-2}a+(a+h)^{p-3}a^2+\cdots+(a+h)a^{p-2}+a^{p-1}\bigr)}{h}\\[0.25cm]
&=\lim_{h\to 0} \bigl((a+h)^{p-1}+(a+h)^{p-2}a+(a+h)^{p-3}a^2+\cdots+(a+h)a^{p-2}+a^{p-1}\bigr)\\[0.25cm]
&=a^{p-1}+a^{p-2}a+a^{p-3}a^2+\cdots+a\cdot a^{p-2}+a^{p-1}\quad (p\text{ termen})\\[0.25cm]
&=p\cdot a^{p-1}\end{aligned}\]

In het tweede bewijs lopen we vooruit op de kettingregel voor differentiëren en de afgeleide van de natuurlijke logaritme, maar met als voordeel dat \(p\) niet alleen maar een positief geheel getal hoeft te zijn. Als \[f(x)=x^p\] dan \[\begin{aligned}\ln\bigl(f(x)\bigr)&= \ln(x^p)\\[0.25cm] &= p\cdot \ln(x)\end{aligned}\] Uit de kettingregel voor differentiëren en de afgeleide van de natuurlijke logaritme volgt dan dat \[\frac{f'(x)}{f(x)}=p\cdot \frac{1}{x}\] Dus: \[\begin{aligned}f'(x)&=p\cdot \frac{f(x)}{x}\\[0.25cm] &= p\cdot \frac{x^p}{x}\\[0.25cm] &=p\cdot x^{p-1}\end{aligned}\]

\(\phantom{x}\)

Mathcentre video

Differentiating Powers by First Principles (14:56)