De constante factorregel en de som- en verschilregel

Differentiëren, afgeleide functies en Taylorbenaderingen: Rekenregels voor differentiëren

De constante factorregel en de som- en verschilregel

De volgende regels worden gebruikt bij het differentiëren van een functie die

een veelvoud van een andere differentieerbare functie is;
de som of het verschil van twee differentieerbare functies is.

Constante factorregel en de som- en verschilregel voor differentiëren

Als de functies \(f\) en \(g\) differentieerbaar in \(x\) zijn, dan gelden de volgende regels: \[\begin{aligned}
\bigl(c\cdot f(x)\bigr)' &= c\cdot f'(x)\quad \text{voor elke constante }c\\ \\
\bigl(f(x)+g(x)\bigr)' &= f'(x)+g'(x)\\ \\
\bigl(f(x)-g(x)\bigr)' &= f'(x)-g'(x)
\end{aligned}\]

Voorbeelden

\[\begin{aligned}\\
\bigl(2x^3\bigr)' &= 2\cdot(x^3)' =2\cdot(3\cdot x^2)=6x^2 \\ \\
\bigl(x^2+x^3\bigr)' &= (x^2)'+(x^3)'=2x+3x^2\\ \\
\bigl(x^2-x^3\bigr)' &= (x^2)'-(x^3)'=2x-3x^2
\end{aligned}\]

Voor de liefhebber geven we het bewijs van de constante factorregel en de som- en verschilregel

Voor \(F(x)=c\cdot f(x)\), \(s(x)=f(x)+g(x)\) en \(v(x)=f(x)-g(x)\)geldt \[\begin{aligned}\frac{{\vartriangle}F}{{\vartriangle}x}
&= \frac{F(x+{\vartriangle}x)-F(x)}{{\vartriangle}x}\\ \\
&= \frac{c\cdot f(x+{\vartriangle}x)-c\cdot f(x)}{{\vartriangle}x}\\ \\
&= c\cdot \frac{ f(x+{\vartriangle}x)- f(x)}{{\vartriangle}x}\\ \\
&\to c\cdot f'(x)\quad\text{als }{{\vartriangle}x}\to 0.\\ \\ \\ \\ \\ \\
\frac{{\vartriangle}s}{{\vartriangle}x}&= \frac{ f(x+{\vartriangle}x)+g(x+{\vartriangle}x)- \bigl(f(x)+g(x)\bigr)}{{\vartriangle}x}\\ \\
&= \frac{ f(x+{\vartriangle}x)-f(x)}{{\vartriangle}x} +\frac{g(x+{\vartriangle}x)- g(x)}{{\vartriangle}x}\\ \\
&\to f'(x)+g'(x)\quad\text{als }{{\vartriangle}x}\to 0.\\ \\ \\ \\ \\ \\
\frac{{\vartriangle}v}{{\vartriangle}x}&= \frac{ f(x+{\vartriangle}x)-g(x+{\vartriangle}x)- \bigl(f(x)-g(x)\bigr)}{{\vartriangle}x}\\ \\
&= \frac{ f(x+{\vartriangle}x)-f(x)}{{\vartriangle}x} -\frac{g(x+{\vartriangle}x)- g(x)}{{\vartriangle}x}\\ \\
&\to f'(x)-g'(x)\quad\text{als }{{\vartriangle}x}\to 0.\\ \\ \\ \\ \end{aligned}\]

De laatste rekenregel is enigszins overbodig omdat deze al volgt uit de eerste twee: \[\begin{aligned}\bigl(f(x)-g(x)\bigr)'&=\biggl(f(x)+ \bigl(-1\cdot g(x)\bigr)\biggr)'\\ \\ &=f'(x)+ \bigl(-1\cdot g(x)\bigr)'\qquad\blue{\text{somregel}}\\ \\ &=f'(x)+ \bigl(-1\cdot g'(x)\bigr)\qquad\blue{\text{constante factorregel}}\\ \\ &=f'(x)-g'(x)\end{aligned}\]

We noemen bovenstaande regels voor het differentiëren van een functie achtereenvolgens de constante factorregel, de somregel en de verschilregel.

Wie door de vele letters in de rekenregels het overzicht kwijt raakt of de regels daardoor niet goed kan onthouden: je kunt de onafhankelijke variabele in de functies ook weglaten, enkel rekenen met differentieerbare functies hanteren, en de rekenregels zoals hieronder opschrijven.

Constante factorregel en de som- en verschilregel voor differentiëren in korte notatie Voor differentieerbare functies \(f\) en \(g\) geldt:\[\begin{aligned}
\bigl(c\cdot f\bigr)' &= c\cdot f'\quad \text{voor elke constante }c\\ \\
\bigl(f+g\bigr)' &= f'+g'\\ \\
\bigl(f-g\bigr)' &= f'-g'
\end{aligned}\]