De productregel

Differentiëren, afgeleide functies en Taylorbenaderingen: Rekenregels voor differentiëren

De productregel

Bekijk eerst maar eens één of meer voorbeelden.

Gegeven zijn de functies \[\begin{aligned}f(x) &= x^2-3\\ \\ g(x) &=x^2-3x-2\\ \\ p(x) &=f(x)\cdot g(x)\\ \\ &=(x^2-3)\cdot(x^2-3x-2)\end{aligned}\] Bereken \[\begin{aligned}& f'(x)\\ \\ & g'(x)\\ \\ & p'(x)\quad \text{(werk eerst haakjes in }p(x)\text{ uit)}\\ \\ & f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)\end{aligned}\]

Uitwerken van het product geeft: \[\begin{aligned}p(x)&=(x^2-3)\cdot(x^2-3x-2)\\ \\&=x^4-3 x^3-5 x^2+9 x-5\end{aligned}\] Dus: \[\begin{aligned}f'(x) &= 2x\\ \\
g'(x) &= 2x-3\\ \\
p'(x) &=4 x^3-9 x^2-10 x+9\\ \\
f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x) &= 2x\cdot (x^2-3x-2)+(x^2-3)\cdot ( 2x-3) \\ \\
&= (2x^3-6x^2-4x)+(2x^3-3x^2-6x+9) \\ \\
&=4 x^3-9 x^2-10 x+9
\end{aligned}\] Merk in dit geval op: \[\bigl(f(x)\cdot g(x)\bigr)'=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)\]

Nieuw voorbeeld

Het patroon is duidelijk en kan veralgemeniseerd worden tot de productregel voor differentiëren.

Productregel

Voor functies \(f\) en \(g\) die differentieerbaar in \(x\) zijn geldt de productregel: \[\bigl(f(x)\cdot g(x)\bigr)'= f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)\]

in verkorte notatie geldt voor differentieerbare functies \(f\) en \(g\) dat\[\left(f\cdot g\right)'= f'\cdot g+f\cdot g'\]

Voorbeeld

\[\begin{aligned}\\ &\bigl((x^2+2)(x^3+4)\bigr)'={}\\[0.25cm] &(x^2+2)'\cdot (x^3+4)+(x^2+2)\cdot (x^3+4)'={}\\[0.25cm]
&2x\cdot (x^3+4)+(x^2+2)\cdot 3x^2={}\\[0.25cm]
&5x^4+6x^2+8x\end{aligned}\]

Voor de liefhebber geven we het bewijs van de productregel \[\left(f(x)\cdot g(x)\right)'= f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)\]

Voor \(p(x)=f(x)\cdot g(x)\) geldt: \[\begin{aligned}\frac{{\vartriangle}p}{{\vartriangle}x}
&= \frac{f(x+{\vartriangle}x)\cdot g(x+{\vartriangle}x)-f(x)\cdot g(x)}{{\vartriangle}x}\\ \\
&= \frac{f(x+{\vartriangle}x)\cdot g(x+{\vartriangle}x)-f(x)\cdot g(x+{\vartriangle}x)+f(x)\cdot g(x+{\vartriangle}x)-f(x)\cdot g(x)}{{\vartriangle}x}\\ \\ \\
&= \frac{f(x+{\vartriangle}x)\cdot g(x+{\vartriangle}x)-f(x)\cdot g(x+{\vartriangle}x)}{{\vartriangle}x}+\frac{f(x)\cdot g(x+{\vartriangle}x)-f(x)\cdot g(x)}{{\vartriangle}x}\\ \\
&= \frac{{\vartriangle}f}{{\vartriangle}x}\cdot g(x+{\vartriangle}x)+f(x)\cdot\frac{{\vartriangle}g}{{\vartriangle}x}\\ \\
&\to f'(x)\cdot g(x)+ f(x)\cdot g'(x)\quad\mathrm{als\;}{{\vartriangle}x}\to 0\end{aligned}\]

homogeniseren Je kunt deze productregel ook homogeniseren: \[\frac{(f\cdot g)'}{f\cdot g}= \frac{f'}{f}+\frac{g'}{g}\] In deze vorm is gemakkelijk te zien wat er met een product van drie functies moet gebeuren: \[\frac{\left(f\cdot g\cdot h\right)'}{f\cdot g\cdot h}= \frac{f'}{f}+\frac{g'}{g}+ \frac{h'}{h}\]

Hoe de afgeleide van een product van twee differentieerbare functies uitgerekend kan worden

Bovenstaand voorbeeld van de product regel toont al een strategie om de afgeleide van een product van twee differentieerbare functies \(f\cdot g\) uit te rekenen:

Bepaal hoe een gegeven functie opgevat kan worden een product van twee differentieerbare functies \(f\cdot g\), d.w.z. onderscheid \(f\) en \(g\);
Bereken de afgeleiden\(f'\) and \(g'\);
Pas de productregel \(\left(f\cdot g\right)'= f'\cdot g+f\cdot g'\) toe;
Werk uit en/of vereenvoudig de berekende afgeleide.

Mathcentre video

Product Rule (14:37)