De quotiëntregel

Differentiëren, afgeleide functies en Taylorbenaderingen: Rekenregels voor differentiëren

De quotiëntregel

We beginnen eerst maar eens met een speciaal geval van de quotiëntregel voor differentiëren:

Als de functie \(g\) differentieerbaar is in \(x\) en \(g(x)\neq 0\), dan is de reciproque functie \(q=1/g\) ook differentieerbaar in \(x\) en \[q'(x)= -\frac{g'(x)}{g(x)^2}\]

Voorbeeld

\[\left(\frac{1}{x^2+1}\right)'=-\frac{2x}{(x^2+1)^2}\]

Voor de liefhebber geven we het niet zo moelijke bewijs: \[\begin{aligned}\frac{{\vartriangle}q}{{\vartriangle}x} &= \frac{q(x+{\vartriangle}x)-q(x)}{{\vartriangle}x} \\ \\
&=\left(\frac{1}{g(x+{\vartriangle}x)}-\frac{1}{g(x)}\right)\cdot \frac{1}{{\vartriangle}x} \\ \\
&=\left(\frac{g(x)-g(x+{\vartriangle}x)}{g(x+{\vartriangle}x)\cdot g(x)}\right)\cdot \frac{1}{{\vartriangle}x}\\ \\
&=-\frac{g(x+{\vartriangle}x)-g(x)}{{\vartriangle}x}\cdot \frac{1}{g(x+{\vartriangle}x)\cdot g(x)}\\ \\
&=-\frac{{\vartriangle}g}{{\vartriangle}x}\cdot \frac{1}{g(x+{\vartriangle}x)\cdot g(x)}\\ \\
&\to -\frac{g'(x)}{g(x)^2}\quad\mathrm{als\;}{\vartriangle}x\to 0\end{aligned}\]

De algemene quotiëntregel voor differentiëren is:

Quotiëntregel

Voor functies \(f\) en \(g\) die differentieerbaar zijn in \(x\) en waarvoor \(g(x)\neq 0\), dan is het quotiënt \(f/g\) ook differentieerbaar in \(x\) en geldt dat \[\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)'=\frac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{g(x)^2}\]

In korte notatie voor differentieerbare functies: \[\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'\cdot g-f\cdot g'}{g^2}\] overal waar de functie \(g\) niet de waarde \(0\) heeft.

Voorbeelden

\[\begin{aligned}\left(\frac{3x^2+2}{x^2+1}\right)' &=\frac{6x\cdot (x^2+1)-(3x^2+2)\cdot 2x}{(x^2+1)^2}\\[0.25cm] &=\frac{2x}{(x^2+1)^2}\\[0.5cm]
\left(\frac{3x-4}{2x+1}\right)' &=\frac{3\cdot (2x+1)-(3x-4)\cdot 2}{(x^2+1)^2}\\[0.25cm] &=\frac{11x}{(x+1)^2}\quad\text{mits }x\neq -1\end{aligned}\]

Voor de liefhebber geven we het bewijs van de quotiëntregel \[\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)'=\frac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{g(x)^2}\]

Voor \(\displaystyle q(x)=\frac{f(x)}{g(x)}\) geldt m.b.v. de productregel en bovenstaand speciaal geval: \[\begin{aligned}q'(x)
&= \left(f(x)\cdot \frac{1}{g(x)}\right)'\\ \\
&= f'(x)\cdot \frac{1}{g(x)}+ f(x)\cdot \left(\frac{1}{g(x)}\right)' \\ \\
&= \frac{f'(x)}{g(x)}+ f(x)\cdot \left(-\frac{g'(x)}{g(x)^2}\right) \\ \\
&= \frac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{g(x)^2}
\end{aligned}\]

Ezelsbruggetje Let op het minteken in de teller van de afgeleide van een quotiënt van twee differentieerbare functies Je kunt gemak hebben van het ezelsbruggetje 'NAT-TAN: Noemer maal Afgeleide Teller min Teller maal Ageleide Noemer.

Hieronder staan een paar extra voorbeelden om de quotiëntregels te illustreren. Ze volgen allemaal het volgende stappenplan.

Hoe de afgeleide van een quotiënt van twee differentieerbare functies uitgerekend kan worden

Een strategie om de afgeleide van een quotiënt van twee differentieerbare functies \(f/g\) uit te rekenen kan zijn:

Bepaal hoe een gegeven functie opgevat kan worden een product van twee differentieerbare functies \(f/g\), d.w.z. onderscheid \(f\) en \(g\);
Bereken de afgeleiden \(f'\) and \(g'\);
Pas de quotiëntregel \(\displaystyle\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'\cdot g-f\cdot g'}{g^2}\) toe;
Werk uit en/of vereenvoudig de berekende afgeleide.

Differentieer de volgende functie met de quotiëntregel: \[q(x)=\frac{f(x)}{g(x)}\] waarbij \[f(x)=-4x,\quad g(x)=3x^2+1\] Doe dit als volgt: bereken eerste \(f'(x)\) en \(g'(x)\) en
bereken hierna de afgeleide van het quotiënt, d.w.z. \(q'(x)\), en vereenvoudig tenslotte het resultaat.

\[\begin{aligned} f'(x)&=-4 \\ \\
g'(x)&= 3\cdot 2x= 6x\\ \\
q'(x)&=\frac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{g(x)^2} & \blue{\text{quotiëntregel}}\\ \\
&= \frac{-4\cdot(3x^2+1)+4x\cdot 6x}{(3x^2+1)^2} & \blue{\text{substitutie}}\\ \\
&= \frac{12x^2-4}{(3x^2+1)^2} & \blue{\text{vereenvoudiging}} \end{aligned}\]

Nieuw voorbeeld

Mathcentre video

Quotient Rule (16:47)