De kettingregel

Differentiëren, afgeleide functies en Taylorbenaderingen: Rekenregels voor differentiëren

De kettingregel

Bekijk eerst maar eens een paar voorbeelden

Gegeven zijn de functies

$\begin{aligned}f(x)&= x^{2}\\ \\ g(x)&=2x-3\\ \\ s(x)&=f\bigl(g(x)\bigr)\\ &=\bigl(g(x)\bigr)^2\\ &=(2x-3)^2\end{aligned}$ Bereken

$\begin{aligned}& f'(x)\\ \\ & g'(x)\\ \\ & s'(x)\quad \text{(werk eerst haakjes in }s(x)\text{ uit)}\\ \\ & f'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x)\end{aligned}$

Uitwerken van de samengestelde functie geeft:

$\begin{aligned}s(x)&=(2x-3)^2\\ &=4\,x^2-12\,x+9\end{aligned}$ Dus:

$\begin{aligned}f'(x)&=2x^{}\\ \\ g'(x)&= 2\\ \\ s'(x)&=8\,x-12\\ \\ f'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x)&= 2\cdot (2x-3)^{}\cdot 2 \\ &= 4(2\,x-3)\\ &=8\,x-12 \end{aligned}$ Merk in dit geval op:

$\Bigl(f\bigl(g(x)\bigr)\Bigr)'=f'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x)$

Nieuw voorbeeld

Het patroon is duidelijk en kan veralgemeniseerd worden tot de kettingregel voor differentiëren.

Als $f$ en $g$ functies zijn zodanig dat $g$ differentieerbaar is in $x$ en $f$ differentieerbaar is in $g(x)$ , dan is de samengestelde functie $(f\circ g)(x)=f\bigl(g(x)\bigr)$ differentieerbaar in $x$ en geldt dat

$(f\circ g)'(x)=\Bigl(f\bigl(g(x)\bigr)\Bigr)'= f'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x)$

We geven een bewijs voor de liefhebber dat gebaseerd is op de benadering van de raaklijn via lijnen tussen twee punten op de grafiek die steeds dichter bij elkaar komen te liggen.

Een functie $f$ is differentieerbaar in $x=a$ als er een functie $\varphi$ bestaat zodanig dat $\varphi$ continu is in $x=a$ en

$f(x)-f(a)=\varphi(x)\cdot(x-a)$ voor alle $x$ (tenminste in de buurt van $a$ ). $\varphi(x)$ is de helling van de lijn tussen de twee punten $\bigl((a,f(a)\bigr)$ en $\bigl((x,f(x)\bigr)$ en uit de definitie volgt dus dat $\lim_{x\to a}\varphi(x)=\varphi(a)=f'(a)$ .

Voor de functie $g$ die differentieerbaar in $x=b$ is kunnen we hetzelfde doen, maar dan met een functie $\psi$ die continu is in $x=b$ , en waarvoor geldt dat

$g(x)-g(b)=\psi(x)\cdot(x-b)$ en $\lim_{x\to b}\psi(x)=\psi(b)=g'(b)$ .

Stel nu $a=g(b)$ en dat $f$ differentieerbaar in $a$ is, dan geldt dat

$f(y)-f(a)=\varphi(y)\cdot (y-a)$ met $\varphi(a)=f'(a)$ . In het bijzonder geldt dan voor $y=g(x)$ dat

$f(g(x))-f(g(b))=\varphi(g(x))\cdot \bigl(g(x)-g(b)\bigr)$ waarbij $\varphi\bigl(g(b)\bigr)=f'\bigl(g(b)\bigr)$ . Dan geldt voor de samengestelde functie $h(x)=f\bigl(g(x)\bigr)$ met $a=g(b)$ dat

$\begin{aligned}h(x)-h(b)&=f\bigl(g(x)\bigr)-f\bigl(g(b)\bigr)&\\[0.25cm] &=\varphi(g(x))\cdot\bigl(g(x)-g(b)\bigr)& \text{met }\varphi\bigl(g(b)\bigr)=f'\bigl(g(b)\bigr)\\[0.25cm] &=\varphi(g(x))\cdot\psi(x)\cdot (x-b)& \text{met }\psi(b)=g'(b)\end{aligned}$ en

$\begin{aligned}\lim_{x\to b}\varphi\bigl(g(x)\bigr)\cdot\psi(x)&=\varphi\bigl(g(b)\bigr)\cdot \psi(b)\\[0.25cm] &=f'\bigl(g(b)\bigr)\cdot g'(b)\end{aligned}$ Dus:

$h'(b)=f'\bigl(g(b)\bigr)\cdot g'(b)$ Als dit geldt voor willekeurige $b$ krijgen we de kettingregel voor differentieerbare functies:

$(f\circ g)'(x)=\Bigl(f\bigl(g(x)\bigr)\Bigr)'= f'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x)\quad \text{overal waar de afgeleiden bestaan.}$

Een bijzonder geval van toepassing van de kettingregel is het berekenen van de afgeleide van een functie na een lineaire transformatie.

Als $s(x)=f(a\cdot x+b)$ , dan $s'(x)= a\cdot f'(a\cdot x+b)$

Het eerste probleem bij dit alles is het herkennen van de samenstelling van functies. Een handige notatie kan helpen; zie onderstaande twee voorbeelden.

De functie

$h(x)=(3x^2-1)^5$ is te schrijven als samenstelling van twee functies:

$f(u)=u^5$ en $u=3x^2-1$

De afgeleiden van deze functies zijn:

$\displaystyle f'(u)=\frac{\dd f}{\dd u}=5u^4$ en $\displaystyle u'(x)=\frac{\dd u}{\dd x}=6x$ .

Herinner je dat de notatie $\displaystyle \frac{\dd f}{\dd u}$ betekent dat je $f$ naar $u$ differentieert en daarna desgewenst voor $u$ kunt invullen $3x^2-1$ . De notatie $\displaystyle \frac{\dd u}{\dd x}$ betekent dat je $u$ naar $x$ differentieert. Volgens de kettingregel geldt dan:

$h'(x)=\frac{\dd\bigl(f(u(x)\bigr)}{\dd x}=\frac{\dd f}{\dd u}\cdot \frac{\dd u}{\dd x}=5(3x^2-1)^4\cdot 6x = 30x(3x^2-1)^4$

De functie

$h(t)=\sqrt{3t^2+4}$ is te schrijven als samenstelling van twee functies:

$f(u)=\sqrt{u}$ en $u=3t^2+4$

De afgeleiden van deze functies zijn:

$\displaystyle f'(u)=\frac{\dd f}{\dd u}=\bigl(\sqrt{u}\bigr)'=\bigl( u^{\frac{1}{2}}\bigr)'=\frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2\sqrt{u}}$ en $\displaystyle u'(t)=\frac{\dd u}{\dd t}=6t$ .

Volgens de kettingregel geldt dan:

$h'(t)=\frac{\dd f}{\dd u}\cdot \frac{\dd u}{\dd t}=\frac{1}{2\sqrt{3t^2+4}}\cdot 6t = \frac{3t}{\sqrt{3t^2+4}}$

Met de kettingregel kun je ook de afgeleide van een inverse functie bepalen als je die van de functie zelf al kent.

Voor een differentieerbare functie $f$ met afgeleide $f'$ en met bijpassende inverse functie $f^{-1}$ geldt:

$\frac{\dd f^{-1}}{\dd x}(x)=\frac{1}{f'\bigl(f^{-1}(x)\bigr)}$

Omdat

$f\bigl(f^{-1}(x)\bigr)=x$ geldt volgens de kettingregel

$\frac{\dd f}{\dd x}\bigl(f^{-1}(x)\bigr)\cdot \frac{\dd f^{-1}}{\dd x}(x)=1$ oftewel

$\frac{\dd f^{-1}}{\dd x}(x)=\frac{1}{f'\bigl(f^{-1}(x)\bigr)}$
$\phantom{x}$

Mathcentre video

Chain Rule (24:35)