Differentiëren, afgeleide functies en Taylorbenaderingen: Differentiëren van exponentiële en logaritmische functies
Afgeleiden van exponentiële functies
We roepen in herinnering dat dé exponentiële functie geïntroduceerd is als de exponentiële functie met een zodanig grondtal (aangeduid met ) dat de grafiek van en de rechte lijn met vergelijking elkaar raken in het punt .
Dit betekent dat de functiewaarden van en weinig van elkaar verschillen voor kleine waarden van . Met andere woorden: voor kleine , oftewel
We hebben zojuist bewezen dat de afgeleide van dé exponentiële functie gelijk is aan de functie zelf. Dit is het belangrijkste om te onthouden.
Afgeleide van de exponentiële functie Als dan
De afgeleide van de exponentiële functie is gelijk aan de functie zelf. Deze functie heeft dus de eigenschap dat . Dit is niet de enige functie met deze eigenschap: voor de functie , met constante , geldt dit ook.
Met bovenstaand resultaat en eerdere rekenregels kan de afgeleide voor een exponentiële functie met elk grondtal gevonden worden. Maar eigenlijk moet je de afgeleide van deze standaardfunctie uit het hoofd leren.
Afgeleide van een exponentiële functie met grondtal a Als dan voor elk grondtal .
Tot slot geven we een interactief diagram om te illustreren dat exponentiële functies afgeleiden bezitten die zelf ook weer veelvouden van exponentiële functies zijn en dat het grondtal past bij dié exponentiële functie die zichzelf als afgeleide heeft. Beweeg maar een de schuifbalk om grondtallen tussen en te kiezen en zie in de rechterkant van het diagram hoe de afgeleide functies van zich verhouden tot dé exponentiéle functie (de blauwe grafiek) voor verschillende waarden van .