Afgeleiden van logaritmische functies

Differentiëren, afgeleide functies en Taylorbenaderingen: Differentiëren van exponentiële en logaritmische functies

Afgeleiden van logaritmische functies

Nu we de afgeleide van een exponentiële functie kennen is ook de afgeleide van een logaritmische functie te bepalen. Om te onthouden:

Als $f(x)=\log_a(x)$ dan $\displaystyle f'(x)=\frac{1}{x\cdot\ln(a)}$ voor elk grondtal $a>0$ , $a\neq 1$ .

Voor de liefhebber geven we het bewijs van $\displaystyle\bigl(\log_a(x)\bigr)'=\frac{1}{x\cdot\ln(a)}$ .

Merk op dat de identieke functie $s(x)=x$ gelijk is de samenstelling van de functie $f(u)=a^u$ met $u=\log_{a}(x)$ . Volgens de kettingregel en de formule voor de afgeleide van een machtsfunctie geldt:

$1=s'(x)=f'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x)= a^{u}\cdot \ln(a)\cdot u'(x)=x\cdot \ln(a)\cdot u'(x)$ Dus:

$u'(x)=\frac{1}{x\cdot \ln(a)}$

Bereken de afgeleide van $f(t)=\log_{2}(8t)$

$f(t)=\log_{2}(8t)$ is de samenstelling van $y=\log_{2}(u)$ en $u=8t$ .
Dan: $\displaystyle \frac{\dd y}{\dd u}=\frac{1}{\ln(2)\cdot u}$ en $\displaystyle \frac{\dd u}{\dd t}=8$ . De kettingregel geeft:

$\begin{aligned}f'(t)&=\frac{\dd y}{\dd u}\cdot \frac{\dd u}{\dd t}\\[0.25cm] &=\frac{1}{\ln(2)\cdot 8t}\cdot 8\\[0.25cm] &=\frac{1}{\ln(2)}\cdot \frac{1}{t}\end{aligned}$ Merk op dat de functie $f(t)$ de volgende eigenschap bezit: $f'(t)$ is een veelvoud van $\displaystyle\frac{1}{t}$ .

Nieuw voorbeeld

De $\mathrm{pH}$ als maat voor zuurgraad is gedefinieerd als

$\mathrm{pH}=-\log_{10}\biggl(\bigl[\mathrm{H}_3\mathrm{O}^{+}\bigr]\biggr)$ Als je $\mathrm{pH}$ beschouwd als functie van de concentratie $\bigl[\mathrm{H}_3\mathrm{O}^{+}\bigr]$ , dan wordt de momentane verandering van $\mathrm{pH}$ gegeven door

$\mathrm{pH}'=\frac{\dd\,\mathrm{pH}}{\dd\,\bigl[\mathrm{H}_3\mathrm{O}^{+}\bigr]}=-\frac{1}{\bigl[\mathrm{H}_3\mathrm{O}^{+}\bigr]\cdot\ln(10)}\approx -\frac{0.434}{\bigl[\mathrm{H}_3\mathrm{O}^{+}\bigr]}$

Een bijzonder geval is de afgeleide van de natuurlijke logaritme:

Als $f(x)=\ln(x)$ dan $\displaystyle f'(x)=\frac{1}{x}$ .