Differentiëren, afgeleide functies en Taylorbenaderingen: Differentiëren van exponentiële en logaritmische functies
Afgeleiden van logaritmische functies
Nu we de afgeleide van een exponentiële functie kennen is ook de afgeleide van een logaritmische functie te bepalen. Om te onthouden:
Afgeleide van een logaritmische functie Als \(f(x)=\log_a(x)\) dan \(\displaystyle f'(x)=\frac{1}{x\cdot\ln(a)}\) voor elk grondtal \(a>0\), \(a\neq 1\).
Dan: \(\displaystyle \frac{\dd y}{\dd u}=\frac{1}{\ln(2)\cdot u}\) en \(\displaystyle \frac{\dd u}{\dd r}=4\). De kettingregel geeft: \[\begin{aligned}f'(r)&=\frac{\dd y}{\dd u}\cdot \frac{\dd u}{\dd r}\\[0.25cm] &=\frac{1}{\ln(2)\cdot 4r}\cdot 4\\[0.25cm] &=\frac{1}{\ln(2)}\cdot \frac{1}{r}\end{aligned}\] Merk op dat de functie \(f(r)\) de volgende eigenschap bezit: \(f'(r)\) is een veelvoud van \(\displaystyle\frac{1}{r}\).
De \(\mathrm{pH}\) als maat voor zuurgraad is gedefinieerd als \[\mathrm{pH}=-\log_{10}\biggl(\bigl[\mathrm{H}_3\mathrm{O}^{+}\bigr]\biggr)\] Als je \(\mathrm{pH}\) beschouwd als functie van de concentratie \(\bigl[\mathrm{H}_3\mathrm{O}^{+}\bigr]\), dan wordt de momentane verandering van \(\mathrm{pH}\) gegeven door \[\mathrm{pH}'=\frac{\dd\,\mathrm{pH}}{\dd\,\bigl[\mathrm{H}_3\mathrm{O}^{+}\bigr]}=-\frac{1}{\bigl[\mathrm{H}_3\mathrm{O}^{+}\bigr]\cdot\ln(10)}\approx -\frac{0.434}{\bigl[\mathrm{H}_3\mathrm{O}^{+}\bigr]}\]
Een bijzonder geval is de afgeleide van de natuurlijke logaritme:
Afgeleide van ln Als \(f(x)=\ln(x)\) dan \(\displaystyle f'(x)=\frac{1}{x}\).
