Ter illustratie bewijzen we voor de liefhebber enkele formules. Eerst maar eens de afgeleide van de sinus functie bepalen onder de aanname dat \(\displaystyle \lim_{u\to 0}\frac{\sin(u)}{u}=0\) en rekenregels voor limieten toegepast kunnen worden: \[\begin{aligned}\frac{\dd}{\dd x}\sin(x)&= \lim_{h\to 0} \frac{\sin(x+h)-\sin(x)}{h}\\[0.25cm] &=\lim_{h\to 0} \frac{2\cos(x+\frac{h}{2})\sin(\frac{h}{2})}{h}\\[0.25cm] &=\lim_{u\to 0} \frac{2\cos(x+u)\sin(u)}{2u}\\[0.25cm] &=\lim_{u\to 0}\cos(x+u)\cdot \lim_{u\to 0}\frac{\sin(u)}{u}\\[0.25cm] &= \cos(x)\cdot 1\\[0.25cm] &= \cos(x)\end{aligned}\] Maar dan is de afgeleide van \(\cos x\) ook uit te rekenen met de kettingregel: \[\begin{aligned}\frac{\dd }{\dd x}\cos(x)&=\frac{\dd }{\dd x}\sin(x+\tfrac{1}{2}\pi)\\[0.25cm]&=\cos(x+\tfrac{1}{2}\pi)\cdot \frac{\dd }{\dd x}(x+\tfrac{1}{2}\pi)\\[0.25cm] &=-\sin(x)\cdot 1\\[0.25cm] &=-\sin(x)\end{aligned}\] Met quotiëntregel is dan de afgeleide van de tangens functie te berekenen: \[\begin{aligned}\frac{\dd}{\dd x}\tan(x)&=\frac{\dd}{\dd x}\left(\frac{\sin(x)}{\cos{x}}\right)\\[0.25cm] &=\frac{\sin'(x)\cos(x)-\sin(x)\cos'(x)}{\cos^2(x)}\\[0.25cm] &=\frac{\cos^2(x)+\sin^2(x)}{\cos^2(x)}\\[0.25cm]&= \frac{1}{\cos^2(x)}\end{aligned}\]

We geven één voorbeeld van het bewijs van de formule voor de afgeleide van een inverse goniometrische functie, namelijk van \(\arcsin\).

Stel \(y=\arcsin(x)\), dan \(x=\sin(y)\) en \(-\tfrac{1}{2}\pi\le y \le \tfrac{1}{2}\pi\).
Met impliciet differentiëren vinden we \(1=\cos(y)\cdot \frac{\dd y}{\dd x}\) oftewel \(\frac{\dd y}{\dd x}=\frac{1}{\cos(y)}\).
Omdat \(-\tfrac{1}{2}\pi\le y \le \tfrac{1}{2}\pi\) weten we dat \(\cos(y)\ge 0\) en dus dat \(\cos(y)=\sqrt{1-\sin^2(y)}=\sqrt{1-x^2}\).
Dus: \[\frac{\dd }{\dd x}\arcsin(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\]