Differentiëren, afgeleide functies en Taylorbenaderingen: Hogere afgeleiden
Hogere afgeleiden
Differentiatie van een functie \(f(x)\) levert de afgeleide \(f'(x)\), die ook wel genoteerd wordt als \(\displaystyle\frac{\dd f}{\dd x}(x)\) en \(\displaystyle\frac{\dd}{\dd x}f(x)\tiny.\) Deze afgeleide is een functie van \(x\) die we opnieuw kunnen differentiëren (tenminste bij 'nette' functies). Dat levert de tweede afgeleide van \(f(x)\) op. Gebruikelijke notaties daarvoor zijn \(\displaystyle f''(x), \frac{\dd^2f}{\dd x^2}\!(x)\) en \(\displaystyle\frac{\dd^2}{\dd x^2}\!f(x)\) (Let bij de laatste twee notaties op de verschillende plaatsing van het getal 2 boven en onder de streep).
g(t)=e^{-4t} &\implies g'(t)=-4e^{-4t} &\implies g''(t)=-4\cdot -4e^{-4t}=16e^{-4t} \end{array}\]
We hebben de afgeleide van een afgeleide gevormd en zo kunnen we doorgaan. Bij \(n\) keer differentiëren van de functie \(f(x)\) krijgen we de \(n\)-de afgeleide. In het algemeen wordt voor de \(n\)-de afgeleide met \(n>2\) meestal een van de volgende notaties gebruikt: \(\displaystyle f^{(n)}(x), \frac{\dd^nf}{\dd x^n}(x)\) en \(\displaystyle\frac{\dd^n}{\dd x^n}\!f(x)\).
Door patroonherkenning vinden we de \(n\)-de afgeleide van \(f(t)\): \[f^{(n)}(t)=\frac{\dd ^nf}{\dd t^n}(t)=2^ne^{2t}\]