Differentiëren, afgeleide functies en Taylorbenaderingen: Toepassingen van afgeleiden
Stijgen, dalen en extrema van wiskundige functies
Stijgen, dalen en stationair zijn van functies Gedrag van een functie kan onderzocht worden m.b.v. de afgeleide. Het verband tussen de grafiek van een 'nette' functie \(f(x)\) op een interval \(I\) en de afgeleide functie \(f'(x)\) op hetzelfde interval is namelijk: \[\begin{aligned} \text{de grafiek van }f(x)\text{ is stijgend op }I \iff f'(x)>0\\
\text{de grafiek van }f(x)\text{ is dalend op }I \iff f'(x)<0\\
\text{de grafiek van }f(x)\text{ is stationair op }I \iff f'(x)=0\end{aligned}\]
Extrema \(f(a)\) is een globaal maximum (minimum) van de functie \(f\) als de functie in \(a\) zijn grootste (kleinste) waarde aanneemt, d.w.z., \(f(a)\ge f(x)\) (resp. \(f(a)\le f(x)\)) voor alle \(x\). \(f(a\) is een lokaal maximum (minimum) van de functie \(f\) als de functie in de buurt van \(a\) zijn grootste (kleinste) waarde aanneemt. De algemene term voor maximum of minimum is extremum (meervoud: extrema) en top, en de functiewaarden heten ook wel extreme waarden.
Als je een extremum van een 'nette' functie wilt bepalen, dan kun je eerst op zoek gaan naar een stationair punt, d.w.z. een punt in het domein met een horizontale raaklijn aan de grafiek (afgeleide gelijk aan nul). Immers, elk extremum wordt aangenomen op een stationair punt omdat de afgeleide in dit punt van teken wisselt. Wel moet je elk gevonden stationair punt nader onderzoeken. Er geldt:
Lokale extrema via tekenverloop Als \(f'(a)=0\) en het teken van \(f'(x)\) verandert in \(x=a\) van positief naar negatief,
dan heeft \(f(x)\) een lokaal maximum \(f(a)\) in \(x=a\) .
Als \(f'(a)=0\) en het teken van \(f'(x)\) verandert in \(x=a\) van negatief naar positief,
dan heeft \(f(x)\) een lokaal minimum \(f(a)\) in \(x=a\).
Het tweede afgeleide criterium voor lokale extrema is een goed alternatief.
Het tweede afgeleide criterium De functie \(f(x)\) heeft een lokaal maximum in \(x=a\) als \(f'(a)=0\) en \(f''(a)<0\).
De functie \(f(x)\) heeft een lokaal minimum als \(f'(a)=0\) en \(f''(a)>0\).
Als \(f'(a)=0\) en \(f''(a)=0\) dan kun je nog niet concluderen wat voor een stationair punt \(x=a\) is: het kan corresponderen met een extremum, maar het kan ook nog een buigpunt zijn, d.w.z. een punt waarin de afgeleide functie een maximum of minimum aanneemt.
Voor het berekenen van buigpunten van een functie gebruik je de tweede en derde afgeleide:
Buigpunt De functie \(f(x)\) heeft een buigpunt in \(x=a\) als \(f''(a)=0\) en \(f'''(a)\neq 0\).
Mathcentre video
Maxima and Minima (38:19)
