Differentiëren, afgeleide functies en Taylorbenaderingen: Raaklijn
Differentiequotiënt
In toepassingen zijn we vaak geïnteresseerd in de manier waarop een grootheid verandert. Snelheid is een alledaags begrip en we maken daarbij onderscheid tussen gemiddelde snelheid en momentane snelheid. De gemiddelde snelheid van een bewegend voorwerp over een bepaald tijdsverloop is gelijk aan de snelheid van een eenparige beweging, zodanig dat over datzelfde tijdsverloop de verplaatsing dezelfde is. Deze gemiddelde snelheid kan afwijken van de momentane snelheid, d.w.z. de snelheid op een bepaald tijdstip.
Eerst maar eens twee illustratieve voorbeelden.
In nevenstaand interactief diagram is de grafiek van de functie \(f(t)=2t-1\) te zien met twee punten op de grafiek. Het onderste punt \(A=\bigl(t_A,f(t_A)\bigr)\) op de lijn is vrij te bewegen en het bovenste punt \(B=\bigl(t_B,f(t_B)\bigr)\) op de lijn is verkregen door \(t_B=t_A+{\vartriangle}t\) te kiezen bij een horizontale verandering \({\vartriangle}t\). De horizontale verandering \({\vartriangle}t\) is dus: \[{\vartriangle}t =t_B-t_A\] De bijpassende verticale verandering is: \[\begin{aligned} {\vartriangle}f&=f(t_B) -f(t_A)\\[0.2cm] &= f(t_A+{\vartriangle}t)-f(t_A)\end{aligned}\] De gemiddelde toename op het interval \([t_A,t_B]\) is in dit voorbeeld: \[\frac{{\vartriangle}f}{{\vartriangle}t}= 2\] en hangt niet af van de keuze van het interval; beweging van de schuifbalk of het punt \(A\) verandert niets aan de gemiddelde verandering.
In nevenstaand interactief diagram is de grafiek van de functie \(f(t)=\begin{cases} t^2 & \text{if }t\ge 0\\ 0 & \text{if }t< 0\end{cases}\) te zien met twee punten op de grafiek. Het onderste punt \(A=\bigl(t_A,f(t_A)\bigr)\) op de grafiek is vrij te bewegen en het bovenste punt \(B=\bigl(t_B,f(t_B)\bigr)\) op de lijn is verkregen door \(t_B=t_A+{\vartriangle}t\) te kiezen bij een horizontale verandering \({\vartriangle}t\). De horizontale verandering \({\vartriangle}t\) is dus: \[{\vartriangle}t =t_B-t_A\] De bijpassende verticale verandering is: \[\begin{aligned} {\vartriangle}f&=f(t_B) -f(t_A)\\[0.2cm] &= f(t_A+{\vartriangle}t)-f(t_A)\end{aligned}\] De gemiddelde toename \(\frac{{\vartriangle}f}{{\vartriangle}t}\) op het interval \([t_A,t_B]\) hangt in dit voorbeeld wel af van de keuze van het punt \(A\) en het tijdsinterval (of zo men wil van de horizontale verandering \({\vartriangle}t\)); beweeg de schuifbalk of het punt \(A\) maar eens om dit waar te nemen.
Laten we nu het concept van gemiddelde toename op een interval veralgemeniseren en hierbij de taal van wiskundige functies gebruiken.
We bekijken een functie \(f(t)\) op het interval \([a,b]\) , d.w.z. voor \(a\leq t\leq b\). De gemiddelde toename van de functie op dit interval is te definiëren als het differentiequotiënt \[\frac{{\vartriangle}f}{{\vartriangle}t}=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\] De grootheden \({\vartriangle}f\) en \({\vartriangle}t\) heten differenties. Het differentiequotiënt hangt dus af van de functiewaarden \(f\) op de randen van het interval \([a,b]\), de lengte van het interval en bijvoorbeeld het startmoment \(t=a\).
De gemiddelde toename van de functie \(f(t)\) op het interval \([a,b]\), d.w.z. voor \(a\leq t\leq b\), is gelijk aan de richtingscoëfficiënt van de lijn door de punten \(\bigl(a, f(a)\bigr)\) en \(\bigl(b, f(b)\bigr)\).
Mathcentre video
The Gradient of a Straight-Line Segment (20:46)
