Laat \(a\) en \(b\) reële getallen zijn.
Laat \(f\) de lineaire functie zijn gedefinieerd door \[f(t)=a\cdot t + b\] Dan is de afgeleide een constante: \[f'(t)=a\]
Voor elk reëel getal \(t\) en \({\vartriangle}t\neq 0\) is het differentiequotiënt \[\begin{aligned}\frac{f(t+{\vartriangle}t)-f(t)}{{\vartriangle}t} &= \frac{\bigl(a\cdot(t+{\vartriangle}t)+b\bigr)-\bigl(a\cdot t + b\bigr)}{{\vartriangle}t} \\ \\ &=\frac{a\cdot {\vartriangle}t}{{\vartriangle}t}\qquad \blue{\text{haakjes uitgewerkt}}\\ \\ &=a \qquad\qquad\; \blue{\text{vereenvoudigd met }{\vartriangle}t\neq0}\end{aligned}\] Omdat het differentiequotiënt gelijk is aan de constante \(a\), zal de afgeleide in elk punt \(t\) ook gelijk zijn aan \(a\).
Een speciaal geval is de constante \(f\) gedefinieerd door \[f(t)= b\] Dan is de afgeleide gelijk aan: \[f'(t)=0\]
Voor elk reëel getal \(t\) en \({\vartriangle}t\neq 0\) is het differentiequotiënt \[\frac{f(t+{\vartriangle}t)-f(t)}{{\vartriangle}t} = \frac{b-b}{{\vartriangle}t}=0\] Omdat het differentiequotiënt gelijk is aan nul, zal de afgeleide in elk punt \(t\) ook gelijk zijn aan nul.