Stel dat je een functie van de vorm

$$y(x)=\bigl(f(x)\bigr)^{g(x)}$$ met $f(x)>0$ wilt differentiëren. Dit kun je bewerkstelligen door de functie te herschrijven als $$y(x)=e^{g(x)\cdot \ln\bigl(f(x)\bigr)}$$ en dan de kettingregel en productregel voor differentiëren toe te passen.
Nota bene: de herschrijving van de functie krijg je door aan weerszijden van de oorspronkelijke uitdrukking de natuurlijke logaritme toe te passen. Dit geeft $\ln\bigl(y(x)\bigr)=\ln\left( \bigl(f(x)\bigr)^{g(x)}\right)=g(x)\cdot \ln\bigl(f(x)\bigr)$. Pas nu aan weerszijden de exponentiële functie toe en versimpel de linkerkant; het herschrijven is daarmee klaar.

$\phantom{x}$

Maar het berekenen van de afgeleide $y'(x)$ kan ook gaan via de methode die bekend staat onder de naam logaritmisch differentiëren. Hierbij pas je eerst aan weerszijden van de uitdrukking de natuurlijke logaritme toe; je krijgt dan

$$\ln\bigl(y(x)\bigr)=g(x)\cdot \ln\bigl(f(x)\bigr)\tiny.$$ Hierna bereken je de afgeleide van de uitdrukkingen links en rechts van het gelijkteken; dit geeft met de rekenregels voor differentiëren $$\frac{y'(x)}{y(x)}=g'(x)\cdot \ln\bigl(f(x)\bigr)+ g'(x)\cdot \frac{f'(x)}{f(x)}\tiny.$$ Dus: $$\begin{aligned}y'(x)&=y(x)\cdot\left(g'(x)\cdot \ln\bigl(f(x)\bigr)+ g'(x)\cdot \frac{f'(x)}{f(x)}\right)\\ \\ &= \bigl(f(x)\bigr)^{g(x)}\cdot \left(g'(x)\cdot \ln\bigl(f(x)\bigr)+ g'(x)\cdot \frac{f'(x)}{f(x)}\right)\tiny.\end{aligned}$$

Aansprekender is het volgende voorbeeld van logaritmisch differentiëren.