Taylorveeltermen

Differentiëren, afgeleide functies en Taylorbenaderingen: Taylorbenaderingen

Taylorveeltermen

We hebben al gezien dat we de grafiek van een 'nette' functie $f$ in de buurt van een punt $x=a$ kunnen benaderen met de raaklijn gegeven door de vergelijking

$y=f(a)+f'(a)\cdot (x-a)\tiny.$ Dit is precies dié rechte lijn, die in de buurt van $\bigl(a, f(a)\bigr)$ het dichtst bij de grafiek van $f$ ligt.
De rechte lijn is de grafiek van de volgende veeltermfunctie

$P(x) = f(a)+f'(a)\cdot (x-a)\tiny.$ Merk op dat $P$ de enige eerstegraadsveelterm is met de eigenschap dat

$P(a)=f(a),\quad P'(a)=f'(a)\tiny.$

Als er één schaap over de dam is volgen er meer: we kunnen het bovenstaande ook voor tweedegraadsveeltermen doen.

We veronderstellen dat ook de tweede afgeleide van $f$ bestaat (dit is onderdeel van de 'netheid' van de functie).
Neem nu de veeltermfunctie

$P(x) = f(a)+f'(a)\cdot (x-a)+ \frac{1}{2}f''(a)\cdot (x-a)^2\tiny.$ Dan geldt

$P(a)=f(a),\quad P'(a)=f'(a),\quad P''(a)=f''(a)\tiny.$ De grafiek van $P$ is precies dié parabool, die in de buurt van $\bigl(a, f(a)\bigr)$ het dichtst bij de grafiek van $f$ ligt. Deze parabool ligt in de buurt van $\bigl(a, f(a)\bigr)$ dichter bij de grafiek van $f$ dan de raaklijn in dit punt.

Benadering van een wiskundige functie met een veelterm van graad 3 Je kunt hierna weer doorgaan met derdegraadsveeltermen en de veeltermfunctie

$P(x) = f(a)+f'(a)\cdot (x-a)+ \frac{1}{2}f''(a)\cdot (x-a)^2+ \frac{1}{6}f'''(a)\cdot (x-a)^3$ nemen. De grafiek van deze derdegraadsveelterm ligt dan weer dichter dan bij de grafiek van $f$ dan beide voorafgaande benaderingen.

De volgende stelling van Taylor maakt bovenstaande uitspraken precies; bovendien werkt hij voor veeltermen van willekeurige graad. We zeggen dat een functie $k$ keer differentieerbaar is als $f', f'', f''', \ldots f^{(k)}$ bestaan.

Veronderstel dat $k$ een natuurlijk getal is en de functie $f$ tenminste $k+1$ keer differentieerbaar is. Dan is

$f(x)=P(x)+R(x)$ met

$P(x) = f(a)+f'(a)\cdot (x-a)+ \frac{1}{2}f''(a)\cdot (x-a)^2+ \cdots + \frac{1}{k!}f^{(k)}(a)\cdot (x-a)^k$ een veeltermfunctie van graad $k$ en

$R(x)=\frac{1}{(k+1)!}f^{(k+1)}(\xi)\cdot (x-a)^{k+1}$ voor een of andere $\xi$ die tussen $a$ en $x$ in ligt en van $x$ afhangt.
De veelterm $P$ heet de Taylorveelterm (Taylorpolynoom) voor $f$ rondom $a$ van graad $k$ ; $R$ heet de (Lagrange) restterm van orde $k$ .English

Eigenlijk zouden we $P_k$ en $R_k$ moeten schrijven om de afhankelijkheid van $k$ aan te geven, maar die is meestal uit de context duidelijk. Voor numerieke benaderingsmethoden zijn de volgende twee opmerkingen van belang:

$\frac{R_k(x)}{(x-a)^k}\rightarrow 0\;\;\text{als}\;\;x\rightarrow a$ en

$|R_k(x)|\le M\cdot |x-a|^{k+1}\;\;\text{als } |x-a|\le r\text{ voor zekere }M\text{ en }r\tiny.$ Om schrijfwerk te besparen, maar toch een indicatie van de orde van grootte van een afbreekfout aan te geven, maakt men vaak gebruik van het (grote $O$ ) $O$ -symbool van Landau en schrijft men ook

$R_k(x)=O\bigl((x-a)^{k+1}\bigr)\tiny.$

Onderstaande tabel geeft de kwadratische benaderingen van enkele functies rond de oorsprong.

$\begin{array}{ccccccccc} e^x &= &1 &+ &x &+ &\frac{1}{2}x^2 &+ &O(x^3) \\ \sin x &= & & &x & & &+ &O(x^3) \\ \cos x &= &1 & & &- &\frac{1}{2}x^2 &+ &O(x^3) \\ \dfrac{1}{1-x} &= &1 &+ &x &+ &x^2 &+ &O(x^3)\\ \sqrt{1+x} &= &1 &+ &\frac{1}{2} x &- &\frac{1}{8}x^2 &+ &O(x^3)\\ \ln(1+x) &= & & &x &- &\frac{1}{2}x^2 &+ &O(x^3)\end{array}$

Taylorbenadering van een functie In onderstaand interactief diagram kun je visueel inspecteren hoe goed een Taylorveelterm van zekere orde rondom een ontwikkelpunt een gegeven functie benadert.

GeoGebra

Een directe berekening laat zien dat 6-de orde Taylorbenadering van $f(x) = \sin (x)$ rond het punt 0, gegeven wordt door $P_6(x) = x - \frac{1}{3!} x^3 + \frac{1}{5!} x^5$ . De absolute waarde van de zevende afgeleide $\left(\frac{d}{dx}\right)^7\sin (x) = -\cos(x)$ is maximaal 1. Dus:

$|\sin(x) - x - \frac{1}{3!} x^3 + \frac{1}{5!} x^5| \le \frac{1}{7!} |x|^{7}\tiny.$ Er geldt dat $\frac{1}{7!} |x|^{7} < \frac{1}{10000}$ voor $|x| < \sqrt[7]{\frac{7!}{10000}} \approx 0.821$ . Dus op het interval $[-0.8,0.8]$ wordt de sinusfunctie tot op een fout van $0.0001$ benaderd door de veelterm $P_6(x)$ .