Benadering een wiskundige functie met een lineaire functie We hebben al gezien dat we de grafiek van een 'nette' functie $f$ in de buurt van een punt $x=a$ kunnen benaderen met de raaklijn gegeven door de vergelijking $$y=f(a)+f'(a)\cdot (x-a)\tiny.$$ Dit is precies dié rechte lijn, die in de buurt van $\bigl(a, f(a)\bigr)$ het dichtst bij de grafiek van $f$ ligt.
De rechte lijn is de grafiek van de volgende veeltermfunctie $$P(x) = f(a)+f'(a)\cdot (x-a)\tiny.$$ Merk op dat $P$ de enige eerstegraadsveelterm is met de eigenschap dat $$P(a)=f(a),\quad P'(a)=f'(a)\tiny.$$

Benadering van een wiskundige functie met een kwadratische functie We veronderstellen dat ook de tweede afgeleide van $f$ bestaat (dit is onderdeel van de 'netheid' van de functie).
Neem nu de veeltermfunctie $$P(x) = f(a)+f'(a)\cdot (x-a)+ \frac{1}{2}f''(a)\cdot (x-a)^2\tiny.$$ Dan geldt $$P(a)=f(a),\quad P'(a)=f'(a),\quad P''(a)=f''(a)\tiny.$$ De grafiek van $P$ is precies dié parabool, die in de buurt van $\bigl(a, f(a)\bigr)$ het dichtst bij de grafiek van $f$ ligt. Deze parabool ligt in de buurt van $\bigl(a, f(a)\bigr)$ dichter bij de grafiek van $f$ dan de raaklijn in dit punt.

Benadering van een wiskundige functie met een veelterm van graad 3 Je kunt hierna weer doorgaan met derdegraadsveeltermen en de veeltermfunctie $$P(x) = f(a)+f'(a)\cdot (x-a)+ \frac{1}{2}f''(a)\cdot (x-a)^2+ \frac{1}{6}f'''(a)\cdot (x-a)^3$$ nemen. De grafiek van deze derdegraadsveelterm ligt dan weer dichter dan bij de grafiek van $f$ dan beide voorafgaande benaderingen.

Taylorbenadering van een functie In onderstaand interactief diagram kun je visueel inspecteren hoe goed een Taylorveelterm van zekere orde rondom een ontwikkelpunt een gegeven functie benadert.

Een directe berekening laat zien dat 6-de orde Taylorbenadering van $f(x) = \sin (x)$ rond het punt 0, gegeven wordt door $P_6(x) = x - \frac{1}{3!} x^3 + \frac{1}{5!} x^5$. De absolute waarde van de zevende afgeleide $\left(\frac{d}{dx}\right)^7\sin (x) = -\cos(x)$ is maximaal 1. Dus: $$|\sin(x) - x - \frac{1}{3!} x^3 + \frac{1}{5!} x^5| \le \frac{1}{7!} |x|^{7}\tiny.$$ Er geldt dat $\frac{1}{7!} |x|^{7} < \frac{1}{10000}$ voor $|x| < \sqrt[7]{\frac{7!}{10000}} \approx 0.821$. Dus op het interval $[-0.8,0.8]$ wordt de sinusfunctie tot op een fout van $0.0001$ benaderd door de veelterm $P_6(x)$.