Differentiëren, afgeleide functies en Taylorbenaderingen: Taylorbenaderingen
Taylorreeksen
De exponentiële functie \(e^x\) heeft zichzelf als afgeleide. We nemen \(a=0, x>0\) en vinden met de stelling van Taylor \[e^x=1+x+\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{3!}x^3+\cdots + \frac{1}{k!}x^k+R_k(x)\] met \(R_k(x)=\frac{1}{(k+1)!}e^{\xi} x^{k+1}\) voor een of andere \(0<\xi<x\).
We nemen nu \(x=1, k=6\) en bedenken dat het grondtal van de natuurlijke logaritme kleiner dan 3 is (d.w.z. \(e<3\)). Dan geldt dus \[e=1+ 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}+\frac{1}{120}+\frac{1}{720}+R_6(1)\] met \(0<R_6(1)<\frac{3}{5040}=\frac{1}{1680}<0.0006\). We hebben dus \(e\) benaderd met \(\frac{1957}{720}\approx 2.7180\ldots\) in 4 significante cijfers.
In dit laatste voorbeeld zou je zoveel termen kunnen opnemen als je wilt en de volgende reeksontwikkeling kunnen opschrijven: \[\begin{aligned}e^x&=1+x+\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{3!}x^3+ \frac{1}{4!}x^4+\frac{1}{5!}x^5+\cdots\\ \\ &=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}x^k\end{aligned}\] Dit heet de Taylorreeks van \(e^x\) rondom \(x=0\).
Merk op dat in het bijzonder geldt: \[e= \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}\]
De Taylorreeksen van de sinus- en cosinusfunctie rondom de oorsprong zijn:
\[\begin{aligned}\sin x&=x-\frac{1}{3!}x^3+ \frac{1}{5!}x^5-\frac{1}{7!}x^7+\cdots\\ \\ &=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)!}x^{2k+1}\\ \\ \cos x &=1-\frac{1}{2!}x^2+ \frac{1}{4!}x^4-\frac{1}{6!}x^6+\cdots\\ \\ &=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k)!}x^{2k} \end{aligned}\]
De Taylorreeksen voor de exponentiele functie, sinusfunctie en cosinusfunctie zijn niet alleen voor alle waarden rondom \(x=0\) geldig, maar zelfs voor alle waarden van \(x\). Dit is niet voor elke functie waar:
Voor de Taylorreeks van \(\ln(1+x)\) geldt dat \[\begin{aligned}\ln(1+x) &= x -\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{4}x^4 +\cdots\\ \\ &= \sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}}{k} x^k\end{aligned}\] maar ook dat dit alleen waar is voor \(-1<x\le 1\).
Je kunt er dus ook \(\ln(2)\) mee benaderen door de eerste termen van \(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3} - \frac{1}{4}+\cdots\) op te tellen. Maar een goede benadering krijg je pas bij gebruik van heel veel termen: zelfs na 1000 termen heb je nog maar 2 decimalen correct.
Het kan ook slimmer door \(x=-\tfrac{1}{2}\) te nemen wanneer je je realiseert dat \[\ln\bigl(1+(-\tfrac{1}{2})\bigr)=\ln(\tfrac{1}{2})=-\ln(2)\tiny.\] Dan krijg je al na 10 termen uit de Taylorreeks een benadering van \(\ln(2)\) die correct is in 4 decimalen.
