De exponentiële functie $e^x$ heeft zichzelf als afgeleide. We nemen $a=0, x>0$ en vinden met de stelling van Taylor

$$e^x=1+x+\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{3!}x^3+\cdots + \frac{1}{k!}x^k+R_k(x)$$ met $R_k(x)=\frac{1}{(k+1)!}e^{\xi} x^{k+1}$ voor een of andere $0<\xi<x$.

We nemen nu $x=1, k=6$ en bedenken dat het grondtal van de natuurlijke logaritme kleiner dan 3 is (d.w.z. $e<3$). Dan geldt dus

$$e=1+ 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}+\frac{1}{120}+\frac{1}{720}+R_6(1)$$ met $0<R_6(1)<\frac{3}{5040}=\frac{1}{1680}<0.0006$. We hebben dus $e$ benaderd met $\frac{1957}{720}\approx 2.7180\ldots$ in 4 significante cijfers.

De Taylorreeksen van de sinus- en cosinusfunctie rondom de oorsprong zijn:

$$\begin{aligned}\sin x&=x-\frac{1}{3!}x^3+ \frac{1}{5!}x^5-\frac{1}{7!}x^7+\cdots\\ \\ &=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)!}x^{2k+1}\\ \\ \cos x &=1-\frac{1}{2!}x^2+ \frac{1}{4!}x^4-\frac{1}{6!}x^6+\cdots\\ \\ &=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k)!}x^{2k} \end{aligned}$$

Voor de Taylorreeks van $\ln(1+x)$ geldt dat

$$\begin{aligned}\ln(1+x) &= x -\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{4}x^4 +\cdots\\ \\ &= \sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}}{k} x^k\end{aligned}$$ maar ook dat dit alleen waar is voor $-1<x\le 1$.

Je kunt er dus ook $\ln(2)$ mee benaderen door de eerste termen van $1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3} - \frac{1}{4}+\cdots$ op te tellen. Maar een goede benadering krijg je pas bij gebruik van heel veel termen: zelfs na 1000 termen heb je nog maar 2 decimalen correct.

Het kan ook slimmer door $x=-\tfrac{1}{2}$ te nemen wanneer je je realiseert dat

$$\ln\bigl(1+(-\tfrac{1}{2})\bigr)=\ln(\tfrac{1}{2})=-\ln(2)\tiny.$$ Dan krijg je al na 10 termen uit de Taylorreeks een benadering van $\ln(2)$ die correct is in 4 decimalen.