Inhoud van een omwentelingslichaam

Differentialen en integralen: Toepassingen van integratie

Inhoud van een omwentelingslichaam

We gaan uit van de grafiek van een functie $y=f(x)$ die continu en niet-negatief is op een interval $[a,b]$ . Het vlakdeel dat wordt ingesloten door de grafiek van $f$ , de $x$ -as, en de lijnen $x=a$ en $x=b$ kunnen we nu rond de $x$ -as te wentelen en op deze manier komt een omwentelingslichaam $L$ tot stand. Net zo goed kun je de grafiek van $f$ wentelen om de $x$ -as en begrenzen d.m.v. de verticale vlakken door de punten $(a,0,0)$ en $(b,0,0)$ .

In de linkerfiguur hieronder is slechts een kwart gedeelte van $L$ geschetst (met $x\ge0,y\ge 0$ en $z\ge 0$ . In de rechterfiguur hieronder is het omwentelingslichaam geschets dat je krijgt door de sinusgrafiek op het interval $[0,2\pi]$ rond de $x$ -as te wentelen. Een interactieve versie die het omwentelingslichaam bij de functie $f(x)=x^2-3x$ op het interval $[1,3]$ is ook beschikbaar. Je kunt hierin de grafiek van de functie roteren, het interval aanpassen door de punten $A$ en $B$ te verplaatsen, en het 3D-gezichtspunt via de rechtermuisknop veranderen.

omwentelingslichaam

GeoGebra

Kies een getal $x$ in het interval $[a,b]$ en laat $I(x)$ de inhoud zijn van het gedeelte van het omwentelingslichaam links van het verticale vlak door $(x,0,0)$ . Dan geldt dat $I(a)=0$ en $I(b)=\textrm{inhoud van omwentelingslichaam }L$ . Voor een kleine toename $\dd x$ is de toename $I(x+\dd x)-I(x)$ gelijk aan de inhoud van het dunne plakje van het omwentelingslichaam tussen de verticale vlakken door de punten $(x,0,0)$ en $(x+\dd x,0,0)$ . Voor zeer kleine (wiskundigen zeggen infinitesimaal kleine) toename $\dd x$ is dit nagenoeg gelijk aan de inhoud van een cylinderschijf met straal $f(x)$ en dikte $\dd x$ . De inhoud van deze cylinderschijf is gelijk aan het product van de oppervlakte van de cirkel met straal $f(x)$ en de dikte $\dd x$ , dat wil zeggen gelijk is aan $\pi\cdot \bigl(f(x)\bigr)^2\,\dd x$ . De uitdrukking $\pi\cdot \bigl(f(x)\bigr)^2\,\dd x$ is een differentiaal en gelijk aan de differentiaal $\dd I$ van de inhoudsfunctie. Dus: $\dd I=\pi \cdot \bigl(f(x)\bigr)^2\,\dd x$ .

De gevraagde inhoud van het omwentelingslichaam $L$ dat ontstaat door het vlakdeel ingesloten door de grafiek van de functie $f$ , de $x$ -as en de lijnen $x=a$ en $x=b$ te wentelen om de $x$ -as is gelijk aan

$\begin{aligned}\text{inhoud van }L&=I(b)\\[0.25cm]&=\int_a^b \pi\cdot\bigl(f(x)\bigr)^2\,\dd x\\[0.25cm]&=\pi\int_a^b\bigl(f(x)\bigr)^2\,\dd x\end{aligned}$

Wat is de exacte inhoud $I(L)$ van het omwentelingslichaam $L$ verkregen door de grafiek van de functie $f(x)=x^2-3x$ op het interval $[1,3]$ rond de $x$ -as te wentelen?

$I(S)={}$ $\frac{32}{5}\pi$

$\begin{aligned}I(S) &=\pi \int_1^3\bigl(f(x)\bigr)^2\,\dd x\\[0.25cm] &=\pi\int_{1}^{3}(x^2-3x)^2\,\dd x\\[0.25cm] &=\pi\int_1^3(x^4-6x^3+9x^2)\,\dd x\\[0.25cm] &=\pi\cdot\Bigl[\frac{1}{5}x^5-\frac{3}{2}x^4+3x^3\Bigr]_1^3\\[0.25cm] &=\pi\cdot\Bigl(\bigl(\frac{3^5}{5}-\frac{3^5}{2}+3^4\bigr)-\bigl(\frac{1}{5}-\frac{3}{2}+3\bigr)\Bigr)\\[0.25cm] &=\pi\cdot\bigl(\frac{81}{10}-\frac{17}{10}\bigr)\\[0.25cm] &=\frac{32}{5}\pi\end{aligned}$

Nieuw voorbeeld

$\phantom{xabc}$

In plaats van wentelen om de $x$ -as, kun je een deel van een grafiek van een functie ook wentelen om de $y$ -as. Ook dan kan de inhoud van het omwentelingslichaam berekend worden. We moeten alleen de rollen van $x$ en $y$ verwisselen. We moeten dus de kromme beschrijven als $x=f(y)$ in plaats van $y=f(x)$ . en de grenzen moeten in termen van $y$ gegeven worden, zoals in onderstaande figuur van $y=c$ tot $y=d$ .

omwenteling om y-as

De gevraagde inhoud van het omwentelingslichaam is dan gelijk aan $\pi\int_c^d f(y)^2\,\dd y$ .

Het gedeelte van de parabool $y=x^2+1$ gedefinieerd over de positieve $x$ -as kun je ook beschrijven via $x=\sqrt{y-1}$ . We kunnen het vlakdeel $V$ begrensd door de parabool, de $y$ -as en de horizontale lijnen $y=2$ en $y=5$ wentelen om de $y$ -as. Zie onderstaande figuur.

omwenteling om y-as

Reken de inhoud $I(L)$ van het zo verkregen omwentelingslichaam $L$ exact uit.

$I(L)={}$ $\frac{17}{2}\pi$

$\begin{aligned}I(L)&=\pi \int_{2}^{5}\bigl(x(y)\bigr)^2\,\dd y\\[0.25cm] &=\pi \int_{^2}^{5} \bigl(\sqrt{y-1}\bigr)^2\,\dd y\\[0.25cm] &=\pi \int_{2}^{5} (y-1)\,\dd y\\[0.25cm] &=\pi \int_{1}^{4}u\,\dd u& \blue{u=y-1, \dd u=\dd y}\\[0.25cm] &=\pi \cdot\Bigl[\frac{1}{2}u^2\Bigr]_{1}^{4}\\[0.25cm] &=\pi\cdot\Bigl(\frac{4^2}{2}-\frac{1^2}{2}\Bigr)\\[0.25cm]&=\frac{17}{2}\pi\end{aligned}$

Nieuw voorbeeld

$\phantom{abc}$

Keren we terug naar een vlakdeel onder de grafiek van een continue niet-negatieve functie $f$ . In plaats van het wentelen van het vlakdeel $V$ onder de grafiek om een $x$ -as, kun je zo'n vlakdeel ook wentelen om de $y$ -as.

Kies een getal $x$ in het interval $[a,b]$ en laat $I(x)$ de inhoud zijn van het gedeelte van het omwentelingslichaam links van het verticale vlak door $(x,0,0)$ door wenteling om de $y$ -as. Dan geldt dat $I(a)=0$ en $I(b)=\textrm{inhoud van omwentelingslichaam }L$ . Voor een kleine toename $\dd x$ is de toename $I(x+\dd x)-I(x)$ gelijk aan de inhoud van het dunne plakje van het omwentelingslichaam tussen de verticale vlakken door de punten $(x,0,0)$ en $(x+\dd x,0,0)$ . Voor zeer kleine (wiskundigen zeggen infinitesimaal kleine) toename $\dd x$ is dit nagenoeg gelijk aan de inhoud van een cylindervormige schil met straal $x$ , dikte $\dd x$ en hoogte $f(x)$ . De inhoud van deze cylindervormige schil is gelijk aan het product van de omtrek van een cirkel met straal $x)$ , de hoogte $f(x)$ en de dikte $\dd x$ , dat wil zeggen gelijk is aan $2\pi x\, f(x)\,\dd x$ . Deze uitdrukking is een differentiaal en gelijk aan de differentiaal $\dd I$ van de inhoudsfunctie. Dus: $\dd I=2\pi x\, f(x)\,\dd x$ .

De gevraagde inhoudvan het omwentelingslichaam $L$ dat ontstaat door het vlakdeel ingesloten door de grafiek van de functie $f$ , de $x$ -as en de lijnen $x=a$ en $x=b$ te wentelen om de $y$ -as is gelijk aan

$\begin{aligned}\text{inhoud van }L &=I(b)\\[0.25cm]&=2\pi \int_a^b x\,f(x)\,\dd x\end{aligned}$

Bereken de inhoud van een torus verkregen door een cirkelschijf met straal $r$ en centrum $(c,0)$ met $c>r>0$ te roteren langs de $y$ -as.

Hieronder is de torus met $r=1$ en $c=3$ getekend.

torus

$\text{Inhoud van de torus }={}$ $2\pi^2r^2c$

De vergelijking van een cirkel met straal $r$ en centrum $(c,0)$ wordt gegeven door de vergelijking

$(x-c)^2+y^2=r^2$ De halve cirkel boven de positieve $x$ -as is dan de grafiek van de functie

$f(x)=\sqrt{r^2-(x-c)^2}$ met

$c-r\le x \le c+r$ Om de inhoud van de torus te berekenen verdubbelen we de inhoud van het omwentelingslichaam dat verkregen wordt het vlakdeel onder de grafiek van de functie $f$ te wentelen om de $y$ -as.

$\begin{aligned}\text{Inhoud van de torus } &=2\cdot 2\pi \int_{c-r}^{c+r}x\,f(x)\,\dd x\\[0.25cm] &=4\pi \int_{c-r}^{c+r}x\,\sqrt{r^2-(x-c)^2}\,\dd x\\[0.25cm] &=4\pi \int_{-r}^{r}(u+c)\sqrt{r^2-u^2}\,\dd u\\ &\phantom{abcdwxyzabcdwxyz} \blue{u=x-c, \dd u=\dd x}\\[0.25cm] &=4\pi \int_{-r}^{r}u\,\sqrt{r^2-u^2}\,\dd u + 4\pi \,c\int_{-r}^{r}\sqrt{r^2-u^2}\,\dd u\\[0.25cm] &=4\pi \,c\int_{-r}^{r}\sqrt{r^2-u^2}\,\dd u \\ &\phantom{abcdwxyzabcdwxyz} \blue{\text{want }u\,\sqrt{r^2-u^2}\text{ is oneven functie}}\\[0.25cm] &=4\pi\,c \int_{\pi}^{0}-r^2\sin^2z\,\dd z\\ &\phantom{abcdwxyzabcdwxyz} \blue{u=r\cos{z}, \dd u=-r\sin{z}\, \dd z}\\[0.25cm] &=4\pi\,c\,r^2 \int_{0}^{\pi}\sin^2z\,\dd z\\[0.25cm] &=4\pi\,c\,r^2\cdot\frac{1}{2}\left( \int_{0}^{\pi}\sin^2z\,\dd z+\int_{0}^{\pi}\cos^2z\,\dd z\right) \\[0.25cm] &=2\pi\,c\,r^2 \int_{0}^{\pi}\bigl(\sin^2z+\cos^2z\bigr)\,\dd z \\[0.25cm] &=2\pi\,c\,r^2\int_{0}^{\pi}1\,\dd z\\[0.25cm] &=2\pi\,c\,r^2\,\pi \\[0.25cm] &=2\pi^2r^2c\end{aligned}$

Nieuw voorbeeld

$\phantom{abc}$

Tot slot geven we nog de formules voor de inhoud van een omwentelingslichaam door een vlakdeel onder een geparametriseerde kromme te wentelen om de $x$ - of $y$ -as.

Wanneer je een kromme die in parametervorm $\bigl(x(t),y(t)\bigr)$ op het interval $[a,b]$ gedefinieerd is wentelt om de $x$ - of $y$ -as, dan wordt de inhoud $I(L)$ van het omwentelinglichaam $L$ verkregen door het vlakdeel onder de kromme of links van de kromme gegeven door onderstaande formules.

Wenteling om $x$ -as

$I(L)=\pi\int_a^b y(t)^2\cdot\frac{\dd x}{\dd t}\,\dd t$

Wenteling om $y$ -as

$I(L)=\pi\int_a^b x(t)^2\cdot\frac{\dd y}{\dd t}\,\dd t$

Deze formules volgen uit de eerdere formules voor de inhoud van omwentelingslichamen via de volgende relaties van differentialen:

$\dd x = \frac{\dd x}{\dd t}\,\dd t\quad\text{en}\quad \dd y = \frac{\dd y}{\dd t}\,\dd t$