Voorbeeld 1 Stel dat je de integraal \(\displaystyle\int x^4e^{3x}\,\dd x\) wilt uitrekenen. Dan kan je herhaald partieel integreren (vier keer) om tot het eindresultaat te komen, want de exponent van de macht van \(x\) in de integrand wordt dan in elke stap met \(1\) verlaagd. Maar deze herhaalde berekening is bewerkelijk en tijdrovend. Handiger is een veralgemenisering van het probleem en het afleiden van een reductieformule.

Voor \(n\ge 0\) definiëren we de integraal \(I_n\) als \[I_n=\int x^ne^{ax}\,\dd x\] Merk op dat \[I_0 = \int e^{ax}\,\dd x=\frac{1}{a}e^{ax}+c_0\] voor zekere constante \(c_0\).

Door partiële integratie vinden we een formule voor \(I_n\) in termen van \(I_{n-1}\):

Als \(u=x^n\) en \(\dd v=e^{ax}\,\dd x\), dan \(\dd u=n\,x^{n-1}\,\dd x\) en \(v=\int \dd v= \frac{1}{a}e^{ax}\), en dus \[\begin{aligned}I_n&=
\int x^n\,e^{ax}\,\dd x \\[0.25cm] &\phantom{abcdwxyz} \blue{\left[\int u\,\dd v= u\,v -\int v\,\dd u\right]} \\ &\phantom{abcdwxyz}\blue{\text{regel voor partiële integratie}}\\[0.25cm] &= x^n\cdot \frac{1}{a}e^{ax}-\int \frac{1}{a}e^{ax}\cdot n\,x^{n-1}\,\dd x\\ &\blue{\phantom{abcdwxyz}\text{toepassing van de regel van partiële integratie}}\\[0.25cm] &= \frac{1}{a}x^ne^{ax}-\frac{n}{a}\int x^{n-1}e^{ax}\,\dd x\\ &\blue{\phantom{abcdwxyz}\text{herschrijving}}\\[0.25cm] &=\frac{1}{a}x^ne^{ax}-\frac{n}{a}I_{n-1}\\ &\blue{\phantom{abcdwxyz}\text{reductieformule}}\end{aligned}\]
We kunnen nu de reductieformule \[I_n=\frac{1}{a}x^ne^{ax}-\frac{n}{a}I_{n-1}\] toepassen voor \(n=4\) en \(a=3\) en krijgen dan \[\begin{aligned} I_0&= \frac{1}{3}e^{3x}+c_0\\[0.25cm] I_1&=\frac{1}{3}xe^{3x}-\frac{1}{3}I_0=\frac{1}{9}(3x-1)e^{3x}+c_1\\[0.25cm]
I_2&=\frac{1}{3}x^2e^{3x}-\frac{2}{3}I_1=\frac{1}{27}(9x^2-6x+2)e^{3x}+c_2\\[0.25cm]
I_3&=\frac{1}{3}x^3e^{3x}-I_2=\frac{1}{27}(9x^3-9x^2+6x-2)e^{3x}+c_3\\[0.25cm]
I_4&=\frac{1}{3}x^3e^{3x}-\frac{4}{3}I_3=\frac{1}{81}(27x^4-36x^3+36x^2-24x+8)e^{3x}+c_4\end{aligned}\]

Voorbeeld 2 Stel dat je de integraal \(\displaystyle\int_0^{\pi} \sin^n(x)\,\dd x\) voor \(n=0,1,2,3,\ldots\) wilt uitrekenen. Dan gaat dat het gemakkelijkst door een reductieformule af te leiden.

Voor \(n=0,1,2,3,\ldots\) definiëren we de integraal \(I_n\) als \[I_n=\int_0^{\pi} \sin^n(x)\,\dd x\] Merk op dat \[I_0 = \int_0^{\pi} \dd x=\pi\qquad\text{en}\qquad I_1 = \int_0^{\pi} \sin(x)\dd x=\Bigl[-\cos(x)\Bigl]_{0}^{\pi}=2\]

Door partiële integratie vinden we een formule voor \(I_n\) in termen van \(I_{n-2}\):

Als \(u=\sin^{n-1}(x)\) en \(\dd v=\sin(x)\,\dd x\), dan \(\dd u=(n-1)\,\sin^{n-2}(x)\cos(x)\,\dd x\) en \(v=\int \sin(x)\,\dd v= -\cos(x)\), en dus \[\begin{aligned}I_n&=
\int_0^{\pi} \sin^n(x)\,\dd x \\[0.25cm] &\phantom{abcdwxyz} \blue{\left[\int u\,\dd v= u\,v -\int v\,\dd u\right]} \\ &\phantom{abcdwxyz}\blue{\text{regel voor partiële integratie}}\\[0.25cm] &= \Bigl[\sin^{n-1}(x)\cdot \bigl(-\cos(x)\bigr)\Bigr]_{0}^{\pi}-\int_{0}^{\pi} -\cos(x)\cdot (n-1)\cdot\sin^{n-2}(x)\,\cos(x)\,\dd x\\ &\blue{\phantom{abcdwxyz}\text{toepassing van de regel van partiële integratie}}\\[0.25cm] &= 0-0+(n-1)\int_{0}^{\pi}\sin^{n-2}(x)\,\cos^2(x)\,\dd x\\ &\blue{\phantom{abcdwxyz}\text{herschrijving}}\\[0.25cm] &=(n-1)\int_{0}^{\pi}\sin^{n-2}(x)\,\bigl(1-\sin^2(x)\bigr)\,\dd x\\ &\blue{\phantom{abcdwxyz}\text{goniometrische gelijkheid}}\\[0.25cm] &= (n-1)I_{n-2}-(n-1)I_{n}\\ &\blue{\phantom{abcdwxyz}\text{formule in }I_{n-2}\text{ en }I_{n}}\end{aligned}\] We kunnen \(I_n\) isoleren in de gelijkheid \[I_n=(n-1)I_{n-2}-(n-1)I_{n}\] We krijgen \[n\,I_{n}=(n-1)I_{n-2}\] oftewel\[\,I_{n}=\frac{n-1}{n}I_{n-2}\] We kunnen nu deze reductieformule toepassen voor even \(n\ge 2\) en krijgen dan \[\begin{aligned} I_n&= \frac{n-1}{n}I_{n-2}=\frac{n-1}{n}\cdot \frac{n-3}{n-2}I_{n-4}=\cdots\\[0.25cm] &=\frac{n-1}{n}\cdot \frac{n-3}{n-2}\cdot \frac{n-5}{n-4}\cdots \frac{5}{6}\cdot \frac{3}{4}\cdot\frac{1}{2}\cdot I_0\\[0.25cm]
&=\frac{n-1}{n}\cdot \frac{n-3}{n-2}\cdot \frac{n-5}{n-4}\cdots \frac{5}{6}\cdot \frac{3}{4}\cdot\frac{1}{2}\cdot \pi\end{aligned}\] Voor oneven \(n\ge 3\) krijgen we \[\begin{aligned} I_n&= \frac{n-1}{n}I_{n-2}=\frac{n-1}{n}\cdot \frac{n-3}{n-2}I_{n-4}=\cdots\\[0.25cm] &=\frac{n-1}{n}\cdot \frac{n-3}{n-2}\cdot \frac{n-5}{n-4}\cdots \frac{6}{7}\cdot \frac{4}{5}\cdot\frac{2}{3}\cdot I_1\\[0.25cm]
&=\frac{n-1}{n}\cdot \frac{n-3}{n-2}\cdot \frac{n-5}{n-4}\cdots \frac{6}{7}\cdot \frac{4}{5}\cdot\frac{2}{3}\cdot 2\end{aligned}\]