Voorbeeld 1 Stel dat je de integraal $\displaystyle\int x^4e^{3x}\,\dd x$ wilt uitrekenen. Dan kan je herhaald partieel integreren (vier keer) om tot het eindresultaat te komen, want de exponent van de macht van $x$ in de integrand wordt dan in elke stap met $1$ verlaagd. Maar deze herhaalde berekening is bewerkelijk en tijdrovend. Handiger is een veralgemenisering van het probleem en het afleiden van een reductieformule.

Voor $n\ge 0$ definiëren we de integraal $I_n$ als

$$I_n=\int x^ne^{ax}\,\dd x$$ Merk op dat $$I_0 = \int e^{ax}\,\dd x=\frac{1}{a}e^{ax}+c_0$$ voor zekere constante $c_0$.

Door partiële integratie vinden we een formule voor $I_n$ in termen van $I_{n-1}$:

Als $u=x^n$ en $\dd v=e^{ax}\,\dd x$, dan $\dd u=n\,x^{n-1}\,\dd x$ en $v=\int \dd v= \frac{1}{a}e^{ax}$, en dus

$$\begin{aligned}I_n&= \int x^n\,e^{ax}\,\dd x \\[0.25cm] &\phantom{abcdwxyz} \blue{\left[\int u\,\dd v= u\,v -\int v\,\dd u\right]} \\ &\phantom{abcdwxyz}\blue{\text{regel voor partiële integratie}}\\[0.25cm] &= x^n\cdot \frac{1}{a}e^{ax}-\int \frac{1}{a}e^{ax}\cdot n\,x^{n-1}\,\dd x\\ &\blue{\phantom{abcdwxyz}\text{toepassing van de regel van partiële integratie}}\\[0.25cm] &= \frac{1}{a}x^ne^{ax}-\frac{n}{a}\int x^{n-1}e^{ax}\,\dd x\\ &\blue{\phantom{abcdwxyz}\text{herschrijving}}\\[0.25cm] &=\frac{1}{a}x^ne^{ax}-\frac{n}{a}I_{n-1}\\ &\blue{\phantom{abcdwxyz}\text{reductieformule}}\end{aligned}$$
We kunnen nu de reductieformule $$I_n=\frac{1}{a}x^ne^{ax}-\frac{n}{a}I_{n-1}$$ toepassen voor $n=4$ en $a=3$ en krijgen dan $$\begin{aligned} I_0&= \frac{1}{3}e^{3x}+c_0\\[0.25cm] I_1&=\frac{1}{3}xe^{3x}-\frac{1}{3}I_0=\frac{1}{9}(3x-1)e^{3x}+c_1\\[0.25cm] I_2&=\frac{1}{3}x^2e^{3x}-\frac{2}{3}I_1=\frac{1}{27}(9x^2-6x+2)e^{3x}+c_2\\[0.25cm] I_3&=\frac{1}{3}x^3e^{3x}-I_2=\frac{1}{27}(9x^3-9x^2+6x-2)e^{3x}+c_3\\[0.25cm] I_4&=\frac{1}{3}x^3e^{3x}-\frac{4}{3}I_3=\frac{1}{81}(27x^4-36x^3+36x^2-24x+8)e^{3x}+c_4\end{aligned}$$

Voorbeeld 2 Stel dat je de integraal $\displaystyle\int_0^{\pi} \sin^n(x)\,\dd x$ voor $n=0,1,2,3,\ldots$ wilt uitrekenen. Dan gaat dat het gemakkelijkst door een reductieformule af te leiden.

Voor $n=0,1,2,3,\ldots$ definiëren we de integraal $I_n$ als

$$I_n=\int_0^{\pi} \sin^n(x)\,\dd x$$ Merk op dat $$I_0 = \int_0^{\pi} \dd x=\pi\qquad\text{en}\qquad I_1 = \int_0^{\pi} \sin(x)\dd x=\Bigl[-\cos(x)\Bigl]_{0}^{\pi}=2$$

Door partiële integratie vinden we een formule voor $I_n$ in termen van $I_{n-2}$:

Als $u=\sin^{n-1}(x)$ en $\dd v=\sin(x)\,\dd x$, dan $\dd u=(n-1)\,\sin^{n-2}(x)\cos(x)\,\dd x$ en $v=\int \sin(x)\,\dd v= -\cos(x)$, en dus

$$\begin{aligned}I_n&= \int_0^{\pi} \sin^n(x)\,\dd x \\[0.25cm] &\phantom{abcdwxyz} \blue{\left[\int u\,\dd v= u\,v -\int v\,\dd u\right]} \\ &\phantom{abcdwxyz}\blue{\text{regel voor partiële integratie}}\\[0.25cm] &= \Bigl[\sin^{n-1}(x)\cdot \bigl(-\cos(x)\bigr)\Bigr]_{0}^{\pi}-\int_{0}^{\pi} -\cos(x)\cdot (n-1)\cdot\sin^{n-2}(x)\,\cos(x)\,\dd x\\ &\blue{\phantom{abcdwxyz}\text{toepassing van de regel van partiële integratie}}\\[0.25cm] &= 0-0+(n-1)\int_{0}^{\pi}\sin^{n-2}(x)\,\cos^2(x)\,\dd x\\ &\blue{\phantom{abcdwxyz}\text{herschrijving}}\\[0.25cm] &=(n-1)\int_{0}^{\pi}\sin^{n-2}(x)\,\bigl(1-\sin^2(x)\bigr)\,\dd x\\ &\blue{\phantom{abcdwxyz}\text{goniometrische gelijkheid}}\\[0.25cm] &= (n-1)I_{n-2}-(n-1)I_{n}\\ &\blue{\phantom{abcdwxyz}\text{formule in }I_{n-2}\text{ en }I_{n}}\end{aligned}$$ We kunnen $I_n$ isoleren in de gelijkheid $$I_n=(n-1)I_{n-2}-(n-1)I_{n}$$ We krijgen $$n\,I_{n}=(n-1)I_{n-2}$$ oftewel $$\,I_{n}=\frac{n-1}{n}I_{n-2}$$ We kunnen nu deze reductieformule toepassen voor even $n\ge 2$ en krijgen dan $$\begin{aligned} I_n&= \frac{n-1}{n}I_{n-2}=\frac{n-1}{n}\cdot \frac{n-3}{n-2}I_{n-4}=\cdots\\[0.25cm] &=\frac{n-1}{n}\cdot \frac{n-3}{n-2}\cdot \frac{n-5}{n-4}\cdots \frac{5}{6}\cdot \frac{3}{4}\cdot\frac{1}{2}\cdot I_0\\[0.25cm] &=\frac{n-1}{n}\cdot \frac{n-3}{n-2}\cdot \frac{n-5}{n-4}\cdots \frac{5}{6}\cdot \frac{3}{4}\cdot\frac{1}{2}\cdot \pi\end{aligned}$$ Voor oneven $n\ge 3$ krijgen we $$\begin{aligned} I_n&= \frac{n-1}{n}I_{n-2}=\frac{n-1}{n}\cdot \frac{n-3}{n-2}I_{n-4}=\cdots\\[0.25cm] &=\frac{n-1}{n}\cdot \frac{n-3}{n-2}\cdot \frac{n-5}{n-4}\cdots \frac{6}{7}\cdot \frac{4}{5}\cdot\frac{2}{3}\cdot I_1\\[0.25cm] &=\frac{n-1}{n}\cdot \frac{n-3}{n-2}\cdot \frac{n-5}{n-4}\cdots \frac{6}{7}\cdot \frac{4}{5}\cdot\frac{2}{3}\cdot 2\end{aligned}$$