Differentialen en integralen: Integratietechnieken
Primitiveren van goniometrische uitdrukkingen
Als je wiskundige uitdrukkingen met goniometrische functies wilt primitiveren zal het je niet verbazen dat goniometrische identiteiten een belangrijke rol spelen. De hoofdrolspelers zijn: \[\begin{aligned} \cos^2(x)+\sin^2(x)&=1\\[0.25cm] \sin(2x)&=2\sin(x)\cos(x)\\[0.25cm] \cos(2x)&=\cos^2(x)-\sin^2(x)\\ &=2\cos^2(x)-1\\ &=1-2\sin^2(x)\end{aligned}\] De laatste verdubbelingsformule leert je hoe kwadraten van sinus en cosinus the herschrijven: \[\begin{aligned}\cos^2(x)&=\tfrac{1}{2}\bigl(\cos(2x)+1\bigr)\\[0.25cm] \sin^2(x)&=\tfrac{1}{2}\bigl(\cos(2x)-1\bigr)\end{aligned}\] Dit leidt tot onderstaande voorbeelden.
Voorbeeld 1 Bereken de volgende integraal \[\int\sin(x)^2\,\dd x\]
Oplossing \[\begin{aligned} \int\sin(x)^2\,\dd x &= \frac{1}{2}\int \bigl(\cos(2x)-1\bigr)\,\dd x\\&\phantom{abcxyz}\blue{\text{want }\sin^2(x)=\tfrac{1}{2}\bigl(\cos(2x)-1\bigr)}\\[0.25cm] &=\frac{1}{4}\sin(2x)-\frac{1}{2}x+c\end{aligned}\]
Voorbeeld 2 Bereken de volgende integraal \[\int\cos(x)^4\,\dd x\]
Oplossing \[\begin{aligned} \int\cos^4(x)\,\dd x &= \frac{1}{4}\int \bigl(\cos(2x)+1\bigr)^2\,\dd x\\&\phantom{abcxyz}\blue{\text{want }\cos^2(x)=\tfrac{1}{2}\bigl(\cos(2x)+1\bigr)}\\[0.25cm] &=\frac{1}{4}\int\left(\cos^2(2x)+2\cos(2x)+1\right)\,\dd x\\&\phantom{abcxyz}\blue{\text{want }(a+b)^2=a^2+2ab+b^2}\\[0.25cm]&=\frac{1}{8}\int\left(\cos(4x)+1\right)\,\dd x+\frac{1}{4}\sin(2x)+\frac{1}{4}x\\&\phantom{abcxyz}\blue{\text{want }\cos^2(2x)=\tfrac{1}{2}\bigl(\cos(4x)+1\bigr)}\\[0.25cm]&= \frac{1}{32}\sin(4x)+\frac{1}{8}x+\frac{1}{4}\sin(2x)+\frac{1}{4}x+c\\[0.25cm]&=\frac{1}{32}\sin(4x)+\frac{1}{4}\sin(2x)+\frac{3}{8}x+c \end{aligned}\]
Wat bij goniometrische functies ook wel werkt, is de substitutie \(t=\tan(\tfrac{1}{2}x)\), of equivalent hiermee \(x=2\arctan(x)\). Hiermee wordt \[\sin(x)=\frac{2t}{1+t^2},\quad \cos(x)=\frac{1-t^2}{1+t^2},\quad\text{en}\quad \dd x =\frac{2}{1+t^2}\,\dd t.\] Uit rationale functies van \(\sin(x)\) en \(\cos(t)\) krijgen we rationale functies van \(t\). Deze methode leidt soms wel tot veel rekenwerk en de substitutie \(s=\tan(x)\) is vaak ook bruikbaar: daarmee wordt \[\sin^2(x)=\frac{s^2}{1+s^2},\quad\cos^2(x)=\frac{1}{1+s^2},\quad \text{en}\quad \dd x = \frac{1}{1+s^2}\,\dd s.\] Twee voorbeelden:
Voorbeeld 3 Bereken de volgende integraal \[\int\frac{1}{\cos(x)}\,\dd x\]
Oplossing \[\begin{aligned} \int\frac{1}{\cos(x)}\,\dd x &= \int \frac{1+t^2}{1-t^2}\cdot \frac{2}{1+t^2}\,\dd t\\[0.25cm]&\phantom{abcxyz}\blue{\tan(\tfrac{1}{2}x)\text{ substitutie}}\\[0.25cm] &=\int\frac{2}{1-t^2}\,\dd t\\&\phantom{abcxyz}\blue{\text{vereenvoudiging}}\\[0.25cm] &=\int\left(\frac{1}{1+t}+\frac{1}{1-t}\right)\,\dd t\\&\phantom{abcxyz}\blue{\text{breuksplitsing}}\\[0.25cm] &=\ln|1+t|-\ln|1-t|+c\\[0.25cm] &= \ln\left|\frac{1+t}{1-t}\right|+c\\[0.25cm] &= \ln\left|\frac{1+\tan(\tfrac{1}{2}x)}{1-\tan(\tfrac{1}{2}x)}\right|+c\\[0.25cm]&= \ln\left|\frac{\cos(\tfrac{1}{2}x+\sin(\tfrac{1}{2}x)}{\cos(\tfrac{1}{2}x)-\sin(\tfrac{1}{2}x)}\right|+c\\[0.25cm]&= \ln\left|\tan(x)+\frac{1}{\cos(x)}\right|+c\\[0.25cm]&\phantom{abcxyz}\blue{\text{want }\frac{\cos(u)+\sin(u)}{\cos(u)-\sin(u)} =\tan(2u)+\frac{1}{\cos(2u)}}\\ &\phantom{abcxyz}\blue{\text{volgens goniometrische identiteiten}}\\[0.25cm] &=\ln\bigl|\tan(x)+\sec(x)\bigr|+c\\ &\phantom{abcxyz}\blue{\text{met }\sec(x)=\frac{1}{\cos(x)}}\end{aligned}\]
Voorbeeld 4 Bereken de volgende integraal \[\int\frac{1}{1+\sin(x)}\,\dd x\]
Oplossing \[\begin{aligned} \int\frac{1}{1+\sin(x)}\,\dd x &= \int \frac{1}{1+\dfrac{2t}{1+t^2}}\cdot \frac{2}{1+t^2}\,\dd t\\[0.25cm]&\phantom{abcxyz}\blue{\tan(\tfrac{1}{2}x)\text{ substitutie}}\\[0.25cm] &=\int\frac{2}{t^2+2t+1}\,\dd t\\&\phantom{abcxyz}\blue{\text{vereenvoudiging}}\\[0.25cm] &=\int\frac{2}{(1+t)^2}\,\dd t\\&\phantom{abcxyz}\blue{\text{factorisatie}}\\[0.25cm] &=-\frac{2}{1+t}+c\\[0.25cm] &= -\frac{2}{1+\tan(\tfrac{1}{2}x)}+c\end{aligned}\]
