Differentialen en integralen: Differentialen
Wat is een differentiaal?
Het begrip differentiaal kan op verschillende manieren geïntroduceerd worden: in een wat slordige maar intuïtieve stijl of wiskundig rigoureus, en in de context van wiskundige functies (als verandering van linearisaties van functies) of in wiskundige vakgebieden als infinitesimaalrekening, differentiaalmeetkunde of niet-standaard analyse. In deze module is gekozen voor de eerste aanpak.
Voorbeeld van een kwadratische functie Eerst maar eens een eenvoudig voorbeeld uit een natuurkundige context: het kwadratische verband \(s=\frac{1}{2}a\cdot t^2\) tussen de afstand \(s\) afgelegd in een tijdsduur \(t\) door een voorwerp dat op tijdstip \(t=0\) in rust is en daarna een eenparig versneld rechtlijnige beweging ondergaat met een versnelling \(a\), die in dit voorbeeld constant is. De afgelegde afstand \({\vartriangle}s(t_1)\) tussen tijdstip \(t=t_1\) en \(t=t_1+{\vartriangle}t\) is exact te berekenen:
\[{\vartriangle}s(t_1)=\frac{1}{2}a(t_1+{\vartriangle}t)^2 -\frac{1}{2}at_1^2=at_1{\vartriangle}t+\frac{1}{2}a({\vartriangle}t)^2\tiny.\]
Als de tijdsduur \({\vartriangle}t\) kort is, dan is \(({\vartriangle}t)^2\) veel kleiner dan \({\vartriangle}t\) en is de laatste term in bovenstaande vergelijking verwaarloosbaar klein. Dus:
\[{\vartriangle}s(t_1)\approx at_1{\vartriangle}t,\quad \text{voor kleine }{\vartriangle}t\tiny.\]
De grootheid \(s\) is niet alleen de afgelegde afstand, maar representeert tegelijkertijd de positie van het voorwerp op een zeker tijdstip. Dus kan de laatstste vergelijking ook beschouwd worden als een benadering voor de verandering van positie \({\vartriangle}s(t_1)\) op een tijdsinterval \([t_1,t_1+{\vartriangle}t]\) en die benadering is beter naarmate de verandering van tijd \({\vartriangle}t\) kleiner is. Let wel, het gaat dus hier om een verband tussen veranderingen van twee grootheden (positie en tijd). Om aan te geven dat de veranderingen verwaarloosbaar klein zijn (‘infinitesimaal’) gebruikt men de symbolen \(\dd s\) en \(\dd t\), en dan kan de benadering als een gelijkheid \[\dd s(t_1)=a\cdot t_1\cdot \dd t\] opgeschreven worden. Omdat zowel \(\dd t\) als \(\dd s\) als verwaarloosbaar kleine veranderingen, d.w.z. als verschil tussen eind- en beginwaarde, opgevat worden, noemt men ze differentialen. De verhouding van deze differentialen, het differentiaalquotiënt \(\displaystyle\frac{\dd s}{\dd t}\), is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn in een punt \((t,s(t))\), d.w.z. gelijk aan de afgeleide van \(s\) in \(t.\)
