Differentialen en integralen: Differentialen
Differentiaal van een functie
Het vorige voorbeeld kan als volgt veralgemeniseerd worden: Stel dat de functie \(y=f(t)\) differentieerbaar is in het punt \(t\). Voor een kleine toename \({\vartriangle}t\) van \(t\), kan men de toename \({\vartriangle}y=f(t+{\vartriangle}t)-f(t)\) goed schatten met de volgende formule: \[{\vartriangle}y\approx f'(t)\cdot {\vartriangle}t\] Hoe dichter in de buurt van \(t\), d.w.z. hoe kleiner \({\vartriangle}t\), des te beter is de schatting van de functiewaarde. Achterliggend idee bij deze formule is dat de grafiek van een differentieerbare functie praktisch gezien een rechte lijn is als voldoende ingezoomd wordt. Voor verwaarloosbare veranderingen, genoteerd met \(dy\) en \(dt\), kan dan het volgende opgeschreven worden:
\[\text{Als }y=f(t), \text{ dan is }\dd y=f'(t)\,\dd t\] Het rechterlid \(f'(t)\,\dd t\) heet de differentiaal van f en men gebruikt hiervoor de notaties \(\dd y\), \(\dd f\) en \(\dd\bigl(f(t)\bigr)\).
De differentiaal van \(f\) hangt dus af van het tijdstip \(t\) en de infinitesimale verandering \(\dd t\). Als \(\dd y\) genoteerd wordt als \(\dd f\), dan is het verband tussen differentialen en afgeleiden snel gelegd: het quotiënt van de differentialen \(\dd f\) en \(\dd t\), beter bekend onder de naam differentiaalquotiënt, is gelijk aan de afgeleide \(f'(t)\) in \(t\). Vandaar het gemengde gebruik van \(y'\) en \(\displaystyle\frac{\dd y}{\dd t}\) voor de afgeleide functie in deze lesmodule.
Ook is hiermee duidelijk dat een differentiaalvergelijking, d.w.z. een vergelijking waarin naast een nog onbekende functie ook een of meer afgeleiden van die functie voorkomen, tevens als vergelijking tussen differentialen opgeschreven kan worden: bijvoorbeeld kan de differentiaalvergelijking \(\displaystyle\frac{\dd y}{\dd t}=y\) als relatie tussen differentialen geschreven worden als \(\dd y=y\,\dd t\). Meer algemeen kan de differentiaalvergelijking \(\displaystyle\frac{\dd y}{\dd t}=\varphi(t,y)\), met \(\varphi\) een functie in twee veranderlijken, herschreven worden in termen van differentialen als \(\dd y=\varphi(t,y)\,\dd t\).
Voorbeeld van het gebruik van differentialen Ook al zijn de twee schrijfwijzen voor een differentiaalvergelijking equivalent, in praktijk blijkt de taal van differentialen wel handiger voor het opstellen en oplossen van een differentiaalvergelijking. Het volgende voorbeeld van de afleiding van de formule van de oppervlakte van een cirkel met gegeven straal moge dit illustreren. Beschouw de oppervlakte \(A\) van een cirkel als een grootheid die afhangt van de straal \(r\). Neem nu een cirkel waarvan de straal iets groter is, namelijk \(r+{\vartriangle}r\). Dan is de oppervlakte ook een klein beetje toegenomen, zeg met \({\vartriangle}A\). Deze kleine veranderingen zijn gerelateerd aan elkaar via de formule \({\vartriangle}A\approx C\cdot {\vartriangle}r\), waarbij \(C\) de omtrek is van de cirkel met straal \(r\). Immers, de cirkelstrook met breedte \({\vartriangle}r\) die bij de cirkel met straal \(r\) extra toegevoegd is kan glad getransformeerd worden tot een rechthoek met lengte \(C\) en breedte \({\vartriangle}r\) als deze breedte maar klein genoeg is. Bij infinitesimale veranderingen komt op deze manier de vergelijking \(\dd A=C\,\dd r\) tot stand. De afgeleide \(\displaystyle\frac{\dd A}{\dd r}\) is dus gelijk aan \(C\). Met de kennis van \(C=2\pi r\), vinden we dan dat de afgeleide van \(A\) gelijk is aan \(2\pi r\) en dus \(A=\pi r^2.\)
