Differentialen en integralen: Differentialen
Rekenregels voor differentialen
Het eerder genoemde verband tussen differentialen en afgeleiden maakt de volgende vertaling van rekenregels voor differentiëren naar rekenregels voor differentialen mogelijk:
Rekenregels voor differentialen \[\begin{aligned} \dd\bigl(c\cdot f(t)\bigr) &= c\cdot \dd\bigl(f(t)\bigr), \text{ voor elke constante }c\\ \\ \dd\bigl(f(t)+g(t)\bigr) &= \dd\bigl(f(t)\bigr)+d\bigl(g(t)\bigr)\;\;\; (\text{somregel})\\ \\ \dd\bigl(f(t)\cdot g(t)\bigr) &= g(t)\cdot \dd\bigl(f(t)\bigr)+f(t)\cdot \dd\bigl(g(t)\bigr)\;\;\; (\text{productregel})\\ \\ \dd\left(\frac{f(t)}{g(t)}\right) &= \frac{g(t)\cdot \dd\bigl(f(t)\bigr)-f(t)\cdot \dd\bigl(g(t)\bigr)}{\bigl(g(t)\bigr)^2}\;\;\; (\text{quotiëntregel})\\ \\ \dd\Bigl(f\bigl(g(t)\bigr)\Bigr) &= f'\bigl(g(t)\bigr)\cdot \dd\bigl(g(t)\bigr)= f'\bigl(g(t)\bigr)\cdot g'(t)\,\dd t\;\;\; (\text{kettingregel})\\ \end{aligned}\]
In verkorte, meer heldere notatie zijn de eerste drie rekenregels te schrijven als:
Verkorte notatie van rekenregels voor differentialen \[\begin{aligned} \dd(c\cdot f) &= c\cdot \dd f, \text{ voor elke constante }c\\ \\ \dd(f+g) &= \dd f+\dd g\;\;\; (\text{somregel})\\ \\ \dd(f\cdot g) &= g\cdot \dd f+f\cdot \dd g\;\;\; (\text{productregel})\\ \\ \dd\left(\frac{f}{g}\right) &= \frac{g\cdot \dd f-f\cdot \dd g}{g^2}\;\;\; (\text{quotiëntregel})\\ \end{aligned}\]
We geven enkele voorbeelden van werken met de rekenregels voor differentialen.
Via de constante factorregel en de somregel voor differentialen en de afgeleide van een machtsfunctie gaat dit als volgt: \[\begin{aligned} \dd(4y^2+4y+4) &= \dd(4y^2)+\dd(4y)+\dd(4)\\ &\phantom{uvwxyz}\blue{\text{somregel}}\\ &= 4\,\dd(y^2)+4\,\dd y+\dd(4)\\ &\phantom{uvwxyz}\blue{\text{constante factorregel}}\\ &=4\cdot 2y\,\dd y+4\,\dd y+0\\ &\phantom{uvwxyz}\blue{\text{afgeleide van een macht}}\\ &= 8y\,\dd y+4\,\dd y\\\ &\phantom{uvwxyz}\blue{\text{vereenvoudiging}}\\ &= (8y+4)\,\dd y\\ &\phantom{uvwxyz}\blue{\text{herschrijving}}\end{aligned}\]
Je kan ook de opdracht maken door \(4y^2+4y+4\) gelijk te lezen als een functie \(f(y)\) en de afgeleide \(f'(y)\) te berekenen. Immers, \(\dd\bigl(f(y)\bigr) = f'(y)\,\dd y\).
