Rekenregels voor differentialen

Differentialen en integralen: Differentialen

Rekenregels voor differentialen

Het eerder genoemde verband tussen differentialen en afgeleiden maakt de volgende vertaling van rekenregels voor differentiëren naar rekenregels voor differentialen mogelijk:

$\begin{aligned} \dd\bigl(c\cdot f(t)\bigr) &= c\cdot \dd\bigl(f(t)\bigr), \text{ voor elke constante }c\\ \\ \dd\bigl(f(t)+g(t)\bigr) &= \dd\bigl(f(t)\bigr)+d\bigl(g(t)\bigr)\;\;\; (\text{somregel})\\ \\ \dd\bigl(f(t)\cdot g(t)\bigr) &= g(t)\cdot \dd\bigl(f(t)\bigr)+f(t)\cdot \dd\bigl(g(t)\bigr)\;\;\; (\text{productregel})\\ \\ \dd\left(\frac{f(t)}{g(t)}\right) &= \frac{g(t)\cdot \dd\bigl(f(t)\bigr)-f(t)\cdot \dd\bigl(g(t)\bigr)}{\bigl(g(t)\bigr)^2}\;\;\; (\text{quotiëntregel})\\ \\ \dd\Bigl(f\bigl(g(t)\bigr)\Bigr) &= f'\bigl(g(t)\bigr)\cdot \dd\bigl(g(t)\bigr)= f'\bigl(g(t)\bigr)\cdot g'(t)\,\dd t\;\;\; (\text{kettingregel})\\ \end{aligned}$

In verkorte, meer heldere notatie zijn de eerste drie rekenregels te schrijven als:

Verkorte notatie van rekenregels voor differentialen

$\begin{aligned} \dd(c\cdot f) &= c\cdot \dd f, \text{ voor elke constante }c\\ \\ \dd(f+g) &= \dd f+\dd g\;\;\; (\text{somregel})\\ \\ \dd(f\cdot g) &= g\cdot \dd f+f\cdot \dd g\;\;\; (\text{productregel})\\ \\ \dd\left(\frac{f}{g}\right) &= \frac{g\cdot \dd f-f\cdot \dd g}{g^2}\;\;\; (\text{quotiëntregel})\\ \end{aligned}$

We geven enkele voorbeelden van werken met de rekenregels voor differentialen.

Schrijf de volgende differentiaal in de vorm $f'(y)\,\dd y$ .

$\dd(3y^2-7y+2)=($ $6y-7$ $)\,\dd y$

Via de constante factorregel en de somregel voor differentialen en de afgeleide van een machtsfunctie gaat dit als volgt:

$\begin{aligned} \dd(3y^2-7y+2) &= \dd(3y^2)+\dd(-7y)+\dd(2)\\ &\phantom{uvwxyz}\blue{\text{somregel}}\\ &= 3\,\dd(y^2)-7\,\dd y+\dd(2)\\ &\phantom{uvwxyz}\blue{\text{constante factorregel}}\\ &=3\cdot 2y\,\dd y-7\,\dd y+0\\ &\phantom{uvwxyz}\blue{\text{afgeleide van een macht}}\\ &= 6y\,\dd y-7\,\dd y\\\ &\phantom{uvwxyz}\blue{\text{vereenvoudiging}}\\ &= (6y-7)\,\dd y\\ &\phantom{uvwxyz}\blue{\text{herschrijving}}\end{aligned}$
Je kan ook de opdracht maken door $3y^2-7y+2$ gelijk te lezen als een functie $f(y)$ en de afgeleide $f'(y)$ te berekenen. Immers, $\dd\bigl(f(y)\bigr) = f'(y)\,\dd y$ .

Nieuw voorbeeld