De eerdere aanpak van een oppervlakteberekening laat zich veralgemeniseren tot een berekening van de oppervlakte van een gebied ingesloten door de $x$-as, twee verticale lijnen met vergelijkingen $x=a$ en $x=b$, en de grafiek van een functie $f(x).$ Laat $F(x)$ een functie zijn met $F'(x)=f(x)$, dan heet $F(x)$ een primitieve functie van $f(x).$ Zo'n primitieve functie is niet uniek bepaald: voor elke constante $c$ is de functie $G(x)=F(x)+c$ ook een primitieve functie van $f(x)$.

Laat $O(x)$ de oppervlakte zijn van het gebied ingesloten door de $x$-as, de verticale lijnen door de punten $(a,0)$ en $(x,0)$, en de grafiek van $f(x)$. Onderstaande figuur illustreert deze situatie.

Net als in het concrete voorbeeld kan men dan kijken naar de toename $O(x+\dd x)-O(x)$, d.w.z. de oppervlakte van het gebied ingesloten door de $x$-as, de verticale lijnen door de punten $(x,0)$ en $(x+\dd x,0)$, en de grafiek van $f(x)$, voor kleine toename $\dd x.$ Als voorheen kan de extra smalle strook die erbij gekomen is benaderd worden voor kleine $\dd x$ met een rechthoekige strook met breedte $\dd x$ en hoogte $f(x)$. Dit is eigenlijk voor verwaarloosbare $\dd x$ niets anders dan de differentiaal van de functie $O(x)$. Dus: $$\dd O=f(x)\,\dd x.$$ Met andere woorden: $$O\,'(x)=f(x).$$ Dus is de functie $O(x)$ een primitieve functie van $f(x)$ en op een constante na gelijk aan $F(x).$ Omdat $O(a)=0$ moet gelden dat $O(x)=F(x)-F(a).$ In het bijzonder is $O(b)=F(b)-F(a).$ Dit getal $F(b)-F(a)$ heet de bepaalde integraal van de functie $f(x)$ over het gesloten interval $[a,b]$ en men hanteert de volgende notatie: $$\int_a^b f(x)\,\dd x=F(b)-F(a).$$ De functie $f(x)$ noemt men de integrand en het teken $\int_{}^{}$ dat voor de differentiaal $f(x)\,\dd x$ staat heet het integraalteken. Dit teken is bedacht door Leibniz, een van de pioniers op het gebied van differentiaal- en integraalrekening.

Overigens, de integratievariabele $x$, die meestal een plaats aanduidt, speelt geen enkele speciale rol in bovenstaande berekening en kan door iedere andere nog beschikbare letter worden vervangen, bijvoorbeeld door de letter $t$ die meestal gereserveerd wordt voor tijd. De context van de integraalberekening wijzigt, maar de berekening zelf blijft in essentie gelijk.

In plaats van $F(b)-F(a)$ wordt vaak $\bigl[F(x)\bigr]^b_a$ of $\bigl[F(x)\bigr]^{x=b}_{x=a}$ geschreven. Dus:
$$\int_a^bf(x)\,\dd x=\bigl[F(x)\bigr]^b_a = F(b)-F(a)\text.$$