Algemene definitie en basisregels van integralen

Differentialen en integralen: Oppervlakte en primitieve functie

Algemene definitie en basisregels van integralen

Laat $F(x)$ een primitieve functie van $f(x)$ op een interval $I$ zijn. Voor $a\lt b$ in $I$ is het verschil $F(b)-F(a)$ gelijk aan de oppervlakte van een vlakdeel en onafhankelijk van de keuze van de primitieve functie $F(x)$ . Dit verschil heet ook wel de integraal van $f(x)$ met ondergrens $a$ en bovengrens $b$ , genoteerd als $\int_a^b f(x)\,\dd x,$ en kan ook berekend worden ingeval $a\ge b$ .

Uit de algemenere integraaldefinitie volgen direct de volgende eigenschappen:

Eigenschappen van integralen

$\displaystyle\quad \int_a^b f(x)\,\dd x = -\int_b^a f(x)\,\dd x$
$\displaystyle\quad \int_a^b c\,f(x)\,\dd x = c\, \int_a^b f(x)\,\dd x\quad$ voor elke constante $c$ .
$\displaystyle\quad \int_a^b \bigl(f(x)+g(x)\bigr)\,\dd x = \int_a^b f(x)\,\dd x +\int_a^b g(x)\,\dd x$
$\displaystyle\quad \int_a^c f(x)\,\dd x =\int_a^b f(x)\,\dd x + \int_b^c f(x)\,\dd x\quad$ voor alle $a,b,c$ in $I$ .
$\displaystyle\quad \frac{d}{dx}\left(\int_a^x f(\xi)\,\dd \xi\right) = f(x)\quad \text{en}\quad \frac{\dd }{\dd x}\left(\int_x^b f(\xi)\,\dd \xi\right) = -f(x)$
$\displaystyle\quad \int_a^b f(x)\,\dd x = c\, \int_{a/c}^{b/c} f(c\cdot x)\,\dd x\quad$ voor elke constante $c\neq0$ .