Differentialen en integralen: Oppervlakte en primitieve functie
Algemene definitie en basisregels van integralen
Laat \(F(x)\) een primitieve functie van \(f(x)\) op een interval \(I\) zijn. Voor \(a\lt b \) in \(I\) is het verschil \(F(b)-F(a)\) gelijk aan de oppervlakte van een vlakdeel en onafhankelijk van de keuze van de primitieve functie \(F(x)\). Dit verschil heet ook wel de integraal van \(f(x)\) met ondergrens \(a\) en bovengrens \(b\), genoteerd als \(\int_a^b f(x)\,\dd x,\) en kan ook berekend worden ingeval \(a\ge b\).
Uit de algemenere integraaldefinitie volgen direct de volgende eigenschappen:
Eigenschappen van integralen
- \(\displaystyle\quad \int_a^b f(x)\,\dd x = -\int_b^a f(x)\,\dd x\)
- \(\displaystyle\quad \int_a^b c\,f(x)\,\dd x = c\, \int_a^b f(x)\,\dd x\quad\) voor elke constante \(c\).
- \(\displaystyle\quad \int_a^b \bigl(f(x)+g(x)\bigr)\,\dd x = \int_a^b f(x)\,\dd x +\int_a^b g(x)\,\dd x\)
- \(\displaystyle\quad \int_a^c f(x)\,\dd x =\int_a^b f(x)\,\dd x + \int_b^c f(x)\,\dd x\quad\) voor alle \(a,b,c\) in \(I\).
- \(\displaystyle\quad \frac{d}{dx}\left(\int_a^x f(\xi)\,\dd \xi\right) = f(x)\quad \text{en}\quad \frac{\dd }{\dd x}\left(\int_x^b f(\xi)\,\dd \xi\right) = -f(x)\)
- \(\displaystyle\quad \int_a^b f(x)\,\dd x = c\, \int_{a/c}^{b/c} f(c\cdot x)\,\dd x\quad\) voor elke constante \(c\neq0\).
Ontgrendel volledige toegang
