Differentialen en integralen: Onbepaalde integralen
Standaardprimitieven
Naast de al eerder besproken rekenregels voor differentialen hebben we ook een voorraad van standaardprimitieven. Bij directe integratie vinden we de primitieve functie uit deze lijst, eventueel aangevuld met eenvoudige toepassingen van rekenregels of een gok op goed geluk. Hieronder staat onze lijst van standaardprimitieven en we geven enkele voorbeelden van directe integratie. \[\begin{array}{||c|cl||} \hline \mathit{Functie} & \mathit{Primitieve} & {}\\ \hline x^p & \dfrac{1}{p+1}x^{p+1} & \text{mits }p\neq -1 \\ \dfrac{1}{x+a} & \ln(|x+a|) & {} \\ a^x & \dfrac{1}{\ln(a)}a^x & \text{voor elke }a>0,\;a\neq 1\\[5pt] e^x & e^x & {}\\[5pt] \sin x & -\cos x & {} \\[5pt] \cos x & \sin x & {} \\[5pt] \dfrac{1}{\cos^2 x} & \tan x & {} \\[5pt] \sinh x & \cosh x & {} \\[5pt] \cosh x & \sinh x & {} \\[5pt] \dfrac{1}{\cosh^2 x} & \tanh x & {} \\[5pt] \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} & \arcsin x & {}\\[5pt] \dfrac{1}{1+x^2} & \arctan x & {} \\[5pt] \dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}} & \mathrm{arsinh}\; x & {}\\[5pt] \dfrac{1}{1-x^2} & \mathrm{artanh}\; x & {}\\[5pt] \hline \end{array}\]
Merk op dat de variabele \(x\) een ‘dummy variabele’ is die door iedere andere beschikbare variabele vervangen mag worden
Enkele voorbeelden
Uit de tabel halen we onmiddellijk
\[\int x^7\,\dd x=\frac{1}{8}x^8+c\]
Door toepassing van de somregel van integreren vinden we ook
\[\int (4t^3 -t)\,\dd t=t^4-\tfrac{1}{2}t^2+c\]
Voor de primitieve van \(\cos(2t-1)\) kun je een gokje wagen, bijvoorbeeld op basis van bovenstaande tabel \(\sin(2t-1)\). De afgeleide hiervan is echter via de kettingregel voor differentiëren gelijk aan \(2\cos(2t-1)\), oftewel een factor 2 te groot. Dus: \[\int \cos(2t-1)\,\dd t=\tfrac{1}{2}\sin(2t-1)+c\]
