Substitutieregel

Differentialen en integralen: Integratietechnieken

Substitutieregel

Veronderstel eens dat $F$ een primitieve functie is van $f$ en dat de functie $g$ een nette functie is. Volgens de kettingregel voor differentiëren geldt dan:

$\frac{\dd}{\dd x}\Bigl(F\big(g(x)\bigr)\Bigr)=F'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x)=f\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x)$ In termen van differentialen is de bewering:

$\dd\Bigl(F\bigl(g(x)\bigr)\Bigr)=f\bigl(g(x)\bigr)\cdot \dd\bigl(g(x)\bigr)=f\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x)\,\dd x$ Dus geldt de volgende substitutieregel:

$\int f\bigl(g(x)\bigr)\, g'(x)\,\dd x=\int \dd\Bigl(F\bigl(g(x)\bigr)\Bigr)=F\bigl((g(x)\bigr)+c$

Als $u=g(x)$ en dus $\dd u=g'(x)\,\dd x$ , dan kan bovenstaande regel ook met expliciete vermelding van de gebruikte substitutie opgeschreven worden

Substitutieregel

$\begin{aligned}\int f\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x)\,\dd x&=[u=g(x), \dd u=g'(x)\,\dd x]\\[0.1cm] &=\int f(u)\,\dd u\\[0.2cm] &=F(u)+c\\[0.2cm] &=F\bigl(g(x)\bigr)+c\end{aligned}$

De substitutiemethode is op deze regel gebaseerd:

Om $\int h(x)\,\dd x$ te bepalen zoeken we een functie $f$ en een differentieerbare functie $g$ zodanig dat $h(x)=f\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x)$ . Want dan geldt

$\int h(x)\,\dd x=\int f(u)\,\dd u$ met $u=g(x)$ en is het primitiveren van $h$ te herleiden tot het primitiveren van $f$ .

Als $a$ en $b$ integratiegrenzen zijn, dan geldt:

$\int_a^b h(x)\,\dd x=\int_{g(a)}^{g(b)} f(u)\,\dd u$

Deze methode heeft natuurlijk alleen zin als het vinden van een primitieve van $f$ een gemakkelijkere taak is dan het primitiveren van $h$ is.

Een paar voorbeelden illustreren de substitutiemethode.

Bereken de volgende integraal:

$\int {{2 t}\over{t^2+4}}\,\dd t$

We passen de substitutieregel voor integreren toe met $u=t^2+4$ .
Door differentiëren van $u$ vinden we $\dd u= 2 t \,\dd t$ .
Dus:

$\begin{aligned}\int {{2 t}\over{t^2+4}}\,\dd t&= \int {{1}\over{u}}\,\dd u\\ &\phantom{uvaxyz}\blue{\text{substitutieregel met }u=t^2+4\text{ en } \dd u= 2 t \,\dd t} \\ &= \ln \left(u\right)+c\\ &\phantom{uvaxyz}\blue{\text{primitieve van de integrand}}\\ &= \ln \bigl(t^2+4\bigr)+c\\ &\phantom{uvaxyz}\blue{\text{terugsubstitutie}}\end{aligned}$

Nieuw voorbeeld

Als er integratiegrenzen staan, d.w.z. als je een bepaalde integraal wilt uitrekenen, dan kun je de grenzen gelijk meenemen en is terugsubstitutie niet meer nodig. Enkele voorbeelden mogen dit duidelijk maken:

Bereken de volgende integraal:

$\int_{0}^{1} {{\e^{x}}\over{\e^{2 x}+1}}\,\dd x$

We passen de substitutieregel voor integreren toe met $u=\e^{x}$ .
Door differentiëren van $u$ vinden we $\dd u= \e^{x} \,\dd x$ .
De integratiegrenzen veranderen in $e^0=1$ en $e^1=\e$ .
Dus:

$\begin{aligned}\int_{0}^{1} {{\e^{x}}\over{\e^{2 x}+1}}\,\dd x&= \int_{1}^{\e} {{1}\over{u^2+1}}\,\dd u\\ &\phantom{uvaxyz}\blue{\text{substitutieregel met }u=\e^{x}\text{ en } \dd u= \e^{x} \,\dd x} \\ &= \Bigl[\arctan \left(u\right)\Bigr]_{1}^{\e}\\ &\phantom{uvaxyz}\blue{\text{primitieve van de integrand}}\\ &= \arctan \left(\e\right)-{{\pi}\over{4}} \\ &\phantom{uvaxyz}\blue{\text{substitutie van grenswaarden}}\end{aligned}$

Nieuw voorbeeld

$\phantom{x}$

Mathcentre video

Integration by Substitution (36:07)