$\int x\, \sin (3\, x)\,\dd x={}$$-{{x\, \cos (3\, x)}\over{3}}+{{\sin (3 x)}\over{9}}+c$

---

Als $u=x$ en $dv=\sin (3 x)\,\dd x$, dan $\dd u=\dd x$ en $v=\int \dd v=\int \sin (3 x)\,\dd x=-{{\cos (3 x)}\over{3}}$ .
Met de regel voor partieel integreren krijgen we dus:

$$\begin{aligned}\int x\, \sin (3\, x)\,\dd x&= \Biggl[\int u\,\dd v = uv-\int v\,\dd u\Biggr]\\ &\phantom{uvwxyz}\blue{\text{regel voor }\text{partiële integratie in termen van differentialen}}\\[0.25cm] &= x\cdot -{{\cos (3 x)}\over{3}}- \int -{{\cos (3 x)}\over{3}}\,\dd x\\ &\phantom{uvwxyz}\blue{\text{toepassing van de regel voor }\text{partiële integratie}} \\[0.25cm] &=-{{x\, \cos (3\, x)}\over{3}}+\int {{\cos (3 x)}\over{3}}\,\dd x\\[0.25cm] &\phantom{uvaxyz}\blue{\text{vereenvoudiging}} \\[0.25cm] &= -{{x\, \cos (3\, x)}\over{3}}+{{\sin (3 x)}\over{9}}+c\\[0.25cm] &\phantom{uvaxyz}\blue{\text{berekening van de primitieve}}\end{aligned}$$

$\int z^2 e^{3z}\,\dd z={}$${{1}\over{27}}\left(9 z^2-6 z+2\right) \e^{3 z}+c$

---

Als $u=z^2$ en $\dd v=e^{3z}\,\dd z$, dan $\dd u=2z\,\dd z$ en $v=\int \dd v=\int e^{3 z}\,\dd z={{1}\over{3}} e^{3 z}$.
Met de regel voor partieel integreren krijgen we dus: $$\begin{aligned} \int z^2 e^{3z}\,\dd z &= \Biggl[\int u\,\dd v = uv-\int v\,\dd u\Biggr]\\ &\phantom{uvwxyz}\blue{\text{regel voor }\text{partiële integratie in termen van differentialen}}\\[0.25cm] &={{1}\over{3}} z^2e^{3 z}-\int {{1}\over{3}} e^{3 z}\cdot 2z\,\dd z\\ &\phantom{uvwxyz}\blue{\text{toepassing van de regel voor }\text{partiële integratie}}\\[0.25cm] &={{1}\over{3}} z^2e^{3 z}-{{2}\over{3}}\int z\,e^{3z}\,\dd z\\ &\phantom{uvwxyz}\blue{\text{vereenvoudiging}}\end{aligned}$$ Misschien denk je dat we weinig opgeschoten zijn, maar de macht van $z$ voor de exponentële term in de integraal is wel in graad met 1 verlaagd. Dit spel kunnen we herhalen, net zolang tot we een integraal met enkel een exponentiële term verkregen hebben. Dit gaat in dit voorbeeld snel: $$\begin{aligned} \int z\,e^{3 z}\,\dd z &= {{1}\over{3}} z\,e^{3 z} - \int 1\cdot {{1}\over{3}} e^{3z}\,\dd z\\ &\phantom{uvwxyz}\blue{\text{partiële integratie}} \\[0.25cm] &= {{1}\over{3}} z\,e^{3z}-{{1}\over{3}} \int e^{3z}\,\dd z\\ &\phantom{uvwxyz}\blue{\text{vereenvoudiging}} \\ &= {{1}\over{3}} z\,e^{3z}-{{1}\over{9}} e^{3z}\\ &\phantom{uvwxyz}\blue{\text{berekening van de primitieve}} \\ \end{aligned}$$ We laten de integratieconstante nog even weg, want die zetten we er op het allerlaatste moment bij. In combinatie levert dit dus op: $$\begin{aligned}\int z^2 e^{3z}\,\dd z&={{1}\over{3}} z^2e^{3 z}-{{2}\over{3}}\left({{1}\over{3}} z\, e^{3z}-{{1}\over{9}} e^{3z}\right)\\ &\phantom{uvwxyz}\blue{\text{gebruik van tussenresultaten}} \\[0.25cm] &={{1}\over{27}}\left(9 z^2-6 z+2\right) \e^{3 z}+c\\ &\phantom{uvwxyz}\blue{\text{uitwerking en toevoeging van integratieconstante}}\end{aligned}$$