Partiële integratie

Differentialen en integralen: Integratietechnieken

Partiële integratie

In het laatste voorbeeld van de substitutieregel hebben we een truc uitgehaald om de primitieve van $u\, e^{-u}$ te kunnen bepalen. Met de methode van partieel integreren had dit ook gekund. Deze methode is gebaseerd op de productregel voor differentiëren, die in termen van differentialen ook geformuleerd is als

$f(x)\, \dd\bigl(g(x)\bigr)= \dd\bigl(f(x)g(x)\bigr)-g(x)\,\dd\bigl(f(x)\bigr)$ oftewel

$f(x)\, g'(x)\,\dd x= \dd\bigl(f(x)g(x)\bigr)-g(x)\,f'(x)\,\dd x$ dus geldt:

Partiële integratie

$\int f(x)g'(x)\,\dd x= f(x)g(x)-\int g(x)f'(x)\,\dd x$

Als $u=f(x)$ en $v=g(x)$ en dus $\dd u=f'(x)\,\dd x$ en $\dd v=g'(x)\,\dd x$ , dan kan bovenstaande regel ook opgeschreven worden als

Partiële integratie in termen van differentialen

$\int u\,\dd v=uv-\int v\,\dd u$

Bereken de volgende integraal via partiële integratie:

$\int x\,e^{-x}\,\dd x$ Oplossing

Neem eens $u=x,\;\dd v=e^{-x}\,\dd x$ . Dan $\dd u=\dd x$ en voor $v$ mogen we nemen $v=\int \dd v=\int e^{-x}\,\dd x=-e^{-x}$ omdat de integratieconstante er in dit stadium nog niet toe doet.
Dan geldt:

$\begin{aligned}\int x\,e^{-x}\,\dd x&= \Biggl[\int u\,\dd v = uv-\int v\,\dd u\Biggr]\\ &\phantom{uvwxyz}\blue{\text{regel voor partiële integratie in termen van differentialen}}\\ &=-xe^{-x}-\int \left(-e^{-x}\right)\,\dd x\\ &\phantom{uvwxyz}\blue{\text{toepassing van de regel voor partiële integratie}}\\ &=-xe^{-x}-e^{-x}+c\\ &\phantom{uvwxyz}\blue{\text{integratie}}\\ &=-(x+1)e^{-x}+c \\ &\phantom{uvwxyz}\blue{\text{herschrijving via factorisatie}}\end{aligned}$ Dit voorbeeld illustreert dat men bij partieel integreren een zekere factor van de integrand ‘achter de $\dd$ brengt’. Welke factor het handigst is kan alleen door uitproberen achterhaald worden. Het gaat er meestal steeds om welke factor van de integrand men als afgeleide van een functie beschouwd en welke factor gemakkelijk te differentiëren is zodanig dat de integraal aan de rechterzijde van de regel van partieel integreren eenvoudiger is dan de integraal waarmee men begon. In dit voorbeeld hebben we $e^{-x}$ beschouwd als gemakkelijk te primitiveren factor (nl. met $-e^{-x}$ als primitieve functie) en $x$ als factor met een eenvoudige afgeleide (nl. met afgeleide 1).

Bereken de volgende integraal via partiële integratie:

$\int x\cos x\,\dd x$ Oplossing

Er zijn 4 keuzemogelijkheden voor $u$ en $\dd v$ :

$\begin{aligned} \mathit {keuze\;1:}\qquad & u=1 & \text{en}\qquad & \dd v=x\cos x\, \dd x\\ \mathit {keuze\;2:}\qquad & u=x\cos x & \text{en}\qquad & \dd v=\dd x\\ \mathit {keuze\;3:}\qquad & u=\cos x & \text{en}\qquad & \dd v=x\, \dd x\\ \mathit {keuze\;4:}\qquad & u=x& \text{en}\qquad & \dd v=\cos x\, \dd x\end{aligned}$

De eerste drie keuzes leiden tot integralen waarvan we niet weten hoe ze te integreren.

Keuze 1: dit leidt tot niets, want dan moeten we juist de gevraagde primitieve kunnen berekenen.

$\phantom{x}$

Keuze 2: dan geldt $\dd u=(\cos x-x\sin x)\,\dd x$ en $v=\int \dd v=\int \dd x=x$ , en dus leidt dit tot de integraal $\int x(\cos x-x\sin x)\,\dd x=\int (x\cos x-x^2\sin x)\,\dd x$ . We zijn verder van huis.

$\phantom{x}$

Keuze 3: dan geldt $\dd u=-\sin x\,\dd x$ en $v=\int \dd v=\int x\,\dd x=\tfrac{1}{2}x^2$ en dus leidt dit tot de integraal $\int \tfrac{1}{2}x^2\sin x\,\dd x$ . We zijn nog steeds niet richting een oplossing gegaan. Dat gebeurt pas bij keuze 4.

$\phantom{x}$

Keuze 4: Dan geldt $\dd u=\dd x$ en $v=\int \dd v=\int \cos x\, \dd x=\sin x$ (de integratieconstante hebben we niet nodig). dus met de regel voor partiële integratie vinden we

$\begin{aligned}\int x\cos x\,\dd x&=x\sin x-\int \sin x\,\dd x\\ &\phantom{uvwxyz}\blue{\text{toepassing van de regel voor partiële integratie}}\\ &= x\sin x+\cos x+ c \\ &\phantom{uvwxyz}\blue{\text{standaardintegraal van sinus}}\end{aligned}$

$\phantom{x}$

Nog een paar voorbeelden helpen bij het begrijpen van de methode van partieel integreren.

Bereken de volgende integraal :

$\int \ln (t)\,\dd t$

$\int \ln (t)\,\dd t={}$ $t\, \bigl(\ln \bigl(t\bigr)-1\bigr)+c$

Als $u=\ln (t)$ en $dv=1\,\dd t$ , dan $\dd u=\frac{1}{t}\,\dd t$ en $v=\int \dd v=\int 1\,\dd t=t$ .
Met de regel voor partieel integreren krijgen we dus:

$\begin{aligned}\int \ln (t)\,\dd t&= \Biggl[\int u\,\dd v = uv-\int v\,\dd u\Biggr]\\ &\phantom{uvwxyz}\blue{\text{regel voor }\text{partiële integratie in termen van differentialen}}\\[0.25cm] &= \ln (t)\cdot t- \int t\cdot\frac{1}{t}\,\dd t\\ &\phantom{uvwxyz}\blue{\text{toepassing van de regel voor }\text{partiële integratie}} \\[0.25cm] &=t\, \ln (t)-\int 1\,\dd t\\ &\phantom{uvaxyz}\blue{\text{vereenvoudiging}} \\[0.25cm] &= t\, \ln (t)-t+c\\[0.25cm] &\phantom{uvaxyz}\blue{\text{berekening van de primitieve}}\\[0.25cm] &= t\, \bigl(\ln \bigl(t\bigr)-1\bigr)+c\\ &\phantom{uvaxyz}\blue{\text{vereenvoudiging}}\end{aligned}$ Het hangt van de context af of de laatste herschrijving nuttig is.

Nieuw voorbeeld

$\phantom{x}$

Soms moet je de regel voor partieel integreren herhaald toepassen. We geven voorbeelden:

Bereken de volgende integraal:

$\int t^2 e^{3t}\,\dd t$

$\int t^2 e^{3t}\,\dd t={}$ ${{1}\over{27}}\left(9 t^2-6 t+2\right) \e^{3 t}+c$

Als $u=t^2$ en $\dd v=e^{3t}\,\dd t$ , dan $\dd u=2t\,\dd t$ en $v=\int \dd v=\int e^{3 t}\,\dd t={{1}\over{3}} e^{3 t}$ .
Met de regel voor partieel integreren krijgen we dus:

$\begin{aligned} \int t^2 e^{3t}\,\dd t &= \Biggl[\int u\,\dd v = uv-\int v\,\dd u\Biggr]\\ &\phantom{uvwxyz}\blue{\text{regel voor }\text{partiële integratie in termen van differentialen}}\\[0.25cm] &={{1}\over{3}} t^2e^{3 t}-\int {{1}\over{3}} e^{3 t}\cdot 2t\,\dd t\\ &\phantom{uvwxyz}\blue{\text{toepassing van de regel voor }\text{partiële integratie}}\\[0.25cm] &={{1}\over{3}} t^2e^{3 t}-{{2}\over{3}}\int t\,e^{3t}\,\dd t\\ &\phantom{uvwxyz}\blue{\text{vereenvoudiging}}\end{aligned}$ Misschien denk je dat we weinig opgeschoten zijn, maar de macht van $t$ voor de exponentële term in de integraal is wel in graad met 1 verlaagd. Dit spel kunnen we herhalen, net zolang tot we een integraal met enkel een exponentiële term verkregen hebben. Dit gaat in dit voorbeeld snel:

$\begin{aligned} \int t\,e^{3 t}\,\dd t &= {{1}\over{3}} t\,e^{3 t} - \int 1\cdot {{1}\over{3}} e^{3t}\,\dd t\\ &\phantom{uvwxyz}\blue{\text{partiële integratie}} \\[0.25cm] &= {{1}\over{3}} t\,e^{3t}-{{1}\over{3}} \int e^{3t}\,\dd t\\ &\phantom{uvwxyz}\blue{\text{vereenvoudiging}} \\ &= {{1}\over{3}} t\,e^{3t}-{{1}\over{9}} e^{3t}\\ &\phantom{uvwxyz}\blue{\text{berekening van de primitieve}} \\ \end{aligned}$ We laten de integratieconstante nog even weg, want die zetten we er op het allerlaatste moment bij. In combinatie levert dit dus op:

$\begin{aligned}\int t^2 e^{3t}\,\dd t&={{1}\over{3}} t^2e^{3 t}-{{2}\over{3}}\left({{1}\over{3}} t\, e^{3t}-{{1}\over{9}} e^{3t}\right)\\ &\phantom{uvwxyz}\blue{\text{gebruik van tussenresultaten}} \\[0.25cm] &={{1}\over{27}}\left(9 t^2-6 t+2\right) \e^{3 t}+c\\ &\phantom{uvwxyz}\blue{\text{uitwerking en toevoeging van integratieconstante}}\end{aligned}$

Nieuw voorbeeld

$\phantom{x}$

Natuurlijk mag je integratiegrenzen gelijk bij de berekening betrekken. Een enkel voorbeeld volstaat:

Bereken de volgende integraal via partiële integratie:

$\int_0^{\pi} t\sin(t)\,\dd t$

Oplossing

De berekening gaat als volgt:

$\begin{aligned}\int_0^{\pi} t\sin(t)\,\dd t &= \int_0^{\pi} t\cdot\bigl(-\cos(t)\bigr)'\,\dd t\\ \\ &= \Bigl[t\cdot\bigl(-\cos(t)\bigr)\Bigr]_0^{\pi} -\int_0^{\pi} 1\cdot\bigl(-\cos(t)\bigr)\,\dd t\\ \\ &=\Bigl[-t\cos(t)\Bigl]_0^{\pi} +\int_0^{\pi} \cos(t)\,\dd t \\ \\ &=\Bigl[-t\cos(t)+\sin(t)\Bigl]_0^{\pi} \\ \\ &= \pi\end{aligned}$

$\phantom{x}$

Mathcentre video

Integration by Parts (26:12)