Voorbeeld 1 \[\int \frac{1}{y(1-y)}\,\dd y\]

Bij breuksplitsen zoekt men eerst \(A\) en \(B\) zodanig dat \[\frac{1}{y(1-y)}=\frac{A}{y}+\frac{B}{1-y}.\] Om \(A\) en \(B\) op te sporen werken we het rechterlid uit door de termen onder één noemer te brengen: \[\begin{aligned}\frac{A}{y}+\frac{B}{1-y}&=\frac{A(1-y)}{y(1-y)}+\frac{B y}{y(1-y)}\\ \\ &=\frac{A(1-y)+B y}{y(1-y)}\\ \\ &=\frac{(B-A)y+A}{y(1-y)}\end{aligned}\] Hieruit volgen de vergelijkingen \(B-A=0\) en \(A=1\). Dus: \(A=1\) en \(B=1\), oftewel: \[\frac{1}{y(1-y)}=\frac{1}{y}+\frac{1}{1-y}.\] Maar dan geldt ook: \[\begin{aligned}\int\frac{1}{y(1-y)}\,\dd y&=\int\frac{1}{y}\,\dd y+\int\frac{1}{1-y}\,\dd y\\ \\ &=\ln\bigl(|y|\bigr)-\ln\bigl(|1-y|\bigr)+c\end{aligned}\]

Voorbeeld 2 \[\int \frac{1}{x^3+4x}\,\dd x\]

Bij breuksplitsen zoekt men eerst \(A\), \(B\) en \(C\) zodanig dat \[\begin{aligned}\frac{1}{x^3+4x} &= \frac{1}{x(x^2+4)}\\ \\ &=\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^2+4}, \end{aligned}\] Om de onbekenden \(A\), \(B\) en \(C\) op te sporen werken we het rechterlid uit door de termen onder één noemer te brengen: \[\begin{aligned}\frac{x}{x^3+4x} &=\frac{A(x^2+4) + (Bx+C)x}{x^3+4x}\\ \\&=\frac{(A+B)x^2 +Cx + 4A}{x^3+4x}\end{aligned}\] Hieruit volgen de vergelijkingen \(A+B = 0\), \(C = 0\), en \(4A = 1\). Dat geeft \(A=\frac{1}{4}\), \(B=-\frac{1}{4}\), \(C=0\). Dus hebben we \[\begin{aligned} \int \frac{1}{x^3+4x}\,\dd x &=\frac{1}{4}\int\frac{1}{x}\dd x -\frac{1}{4} \int \frac{x}{x^2+4}\dd x\\ \\ &=\frac{1}{4}\ln|x| -\frac{1}{8}\ln(x^2+4)+c \end{aligned}\] Bij de tweede logaritmische term laten we absolute waarde strepen weg omdat \(x^2+4\) altijd positief is.

Voorbeeld 3 \[\int \frac{2 x^2 - x + 4}{x^3 + 4x} \, \dd x\]

De methode van breuksplitsing verloopt als volgt: \[\begin{aligned}\int \frac{2 x^2 - x + 4}{x^3 + 4x}\, \dd x & = \int \frac{2 x^2 - x + 4}{x ( x^2 + 4)}\,\dd x\\ \\ &= \int\left( \frac{1}{x} + \frac{x-1}{x^2+4}\right) \dd x \\ \\ &= \int \left(\frac{1}{x} + \frac{x}{x^2+4} + \frac{-1}{x^2+4}\right) \dd x \\ \\ &= \ln |x| + \frac{1}{2}\ln |x^2+4| - \frac{1}{2}\arctan (\tfrac{1}{2}x)\end{aligned}\]
In de eerste stap wordt de noemer ontbonden. Merk op dat #x^2 + 4# niet verder ontbonden kan worden. De tweede stap is het breuksplitsen; hier worden #A,B,C# opgelost uit \[\frac{2 x^2 - x + 4}{x ( x^2 + 4)} = \frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^2+4}\]
De berekening, die we achterwege laten, geeft #A = 1, B = 1, C=-1#. Omdat #x^2+4# een kwadratische term is, staat in de noemer hierbij een eerstegraads veelterm. Ten slotte wordt de integraal #\int \dfrac{x-1}{x^2+4}\,dx# nog gesplitst in twee integralen, namelijk #\int \dfrac{x}{x^2+4}\,\dd x # en #\int \dfrac{-1}{x^2+4}\, \dd x#.

De eerste hiervan kan met de substitutie #u = x^2 + 4# worden aangepakt: met #\dd u = 2x \,\dd x# krijgen we \[\int \frac{x}{x^2+4}\, \dd x = \int \frac{1}{2} \frac{1}{u}\, \dd u = \frac{1}{2}\ln |u| =
\frac{1}{2}\ln |x^2+4|\] De tweede kan vereenvoudigd worden met de substitutie #x = 2v#. Dan zien we, met #\dd x = 2\, \dd v#, \[\begin{aligned} \int \frac{-1}{x^2+4}\, \dd x&= \int 2 \frac{-1}{4 v^2 + 4}\, \dd v\\ \\ &= - \frac{1}{2}\int\frac{1}{v^2 + 1}\, \dd v\\ \\ &= \frac{1}{2}\arctan (v)\\ \\ &= \frac{1}{2}\arctan(\tfrac{1}{2}x)\end{aligned}\]

Voorbeeld 4 Er geldt \[\frac{1}{x(x+1)^2} = \frac{1}{x} + \frac{-x - \frac{1}{2}}{(x+1)^2}\]
Schrijf, om dit te vinden, #\dfrac{1}{x(x+1)^2} = \dfrac{A}{x} + \dfrac{Bx + C}{(x+1)^2}# en los #A, B, C# op. Merk op dat er een term met #(x+1)^2# in de noemer blijft, waarbij de macht van de teller één kleiner is.

Voorbeeld 5 Beschouw de functie \[f(x) = \frac{x^4-1}{x(x+1)^2}\] De teller bevat een term van graad vier (als hoogst voorkomende macht), dit is hoger dan de derdegraads term die als hoogste macht in de noemer voorkomt bij wegwerken van de haakjes. Om de primitieve van #f(x)# te vinden, kunnen we eerst met een staartdeling de teller door de noemer delen, om zo #f(x)# te herschrijven tot een veelterm plus als restterm een rationale functie met noemer #x(x+1)^2 = x^3 + 2x^2 + x# en een teller met termen van graad kleiner dan 3. Namelijk \[\begin{aligned}x^4 - 1 &= x \left( x^3 + 2x^2 + x \right) - 2x^3 - x^2 &= \\[0.25cm] &= x \left( x^3 + 2x^2 + x\right) - 2 \left( x^3 + 2x^2 + x \right) + 3 x^2 +2 x\end{aligned}\] From this, we have: \[
\begin{aligned}\frac{x^4-1}{x (x+1)^2} &= x - 2 + \frac{ 3 x^2 +2 x}{x (x+1)^2}\\[0.25cm] &= x - 2 + \frac{3x + 2}{(x+1)^2}\\[0.25cm] &= x - 2 + \frac{3(x + 1) -1}{(x+1)^2}\\[0.25cm] &= x - 2 + \frac{3}{(x+1)}-\frac{1}{(x+1)^2}\end{aligned}\]

Voorbeeld 6 \[ \int \frac{1}{x^3+2x^2}\dd x \]

We kunnen nu de breuk als volgt splitsen: \[\begin{aligned} \frac{1}{x^3+2x^2} &= \frac{1}{x^2(x+2)}\\ \\ & = \frac{A}{x} + \frac{B}{x^2} + \frac{C}{x+2}, \end{aligned}\] en we vinden de onbekenden \(A\), \(B\), en \(C\) door de uitgesplitste breuk terug onder één noemer te brengen. \[\begin{aligned} \frac{1}{x^3+2x^2} &= \frac{Ax(x+2) + B(x+2) + Cx^2}{x^3 + 2x^2}\\ \\ &\frac{(A+C)x^2 + (2A+B)x + 2B}{x^3+2x^2}. \end{aligned}\] Hieruit volgen de vergelijkingen \(A+C = 0\), \(2A + B = 0\) en \(2B = 1\). Dat geeft \(A=-\frac{1}{4}\), \(B = \frac{1}{2}\), en \(C=\frac{1}{4}\). Dus hebben we \[\begin{aligned} \int\frac{1}{x^3+2x^2}\dd x &=-\frac{1}{4}\int\frac{1}{x}\dd x + \frac{1}{2}\int\frac{1}{x^2}\dd x + \frac{1}{4}\int\frac{1}{x+2}\dd x\\ \\& = -\frac{1}{4}\ln|x| - \frac{1}{2x} + \frac{1}{4}\ln|x+2| + c\end{aligned}\]