Differentialen en integralen: Integratietechnieken
Breuksplitsing
Bij rationale functies is soms een aanpak effectief waarbij een breuk herschreven wordt als som van eenvoudigere breuken. Deze methode staat bekend als breuksplitsing. Een enkel voorbeeld illustreert deze aanpak.
Voorbeeld 1
Bij breuksplitsen zoekt men eerst en zodanig dat Om en op te sporen werken we het rechterlid uit door de termen onder één noemer te brengen: Hieruit volgen de vergelijkingen en . Dus: en , oftewel: Maar dan geldt ook:
Niet alle tellers van rationale functies kunnen gesplitst worden naar enkele factoren van graad 1 zoals hierboven. Sommige polynomen hebben factoren van graad 2 die niet verder uitgesplitst kunnen worden in reële factoren. Zie de volgende twee voorbeelden om te zien hoe je in zo'n geval breuksplitsing kan gebruiken.
Voorbeeld 2
Bij breuksplitsen zoekt men eerst , en zodanig dat Om de onbekenden , en op te sporen werken we het rechterlid uit door de termen onder één noemer te brengen: Hieruit volgen de vergelijkingen , , en . Dat geeft , , . Dus hebben we Bij de tweede logaritmische term laten we absolute waarde strepen weg omdat altijd positief is.
Voorbeeld 3
De methode van breuksplitsing verloopt als volgt:
In de eerste stap wordt de noemer ontbonden. Merk op dat niet verder ontbonden kan worden. De tweede stap is het breuksplitsen; hier worden opgelost uit
De berekening, die we achterwege laten, geeft . Omdat een kwadratische term is, staat in de noemer hierbij een eerstegraads veelterm. Ten slotte wordt de integraal nog gesplitst in twee integralen, namelijk en .
De eerste hiervan kan met de substitutie worden aangepakt: met krijgen we De tweede kan vereenvoudigd worden met de substitutie . Dan zien we, met ,
Een andere situatie die zich voor kan doen is dat de noemer gefactoriseerd kan worden naar factoren van graad 1 of 2 die meer dan één keer voorkomen. Zie hieronder uitgewerkte voorbeelden van deze situatie.
Voorbeeld 4 Er geldt
Schrijf, om dit te vinden, en los op. Merk op dat er een term met in de noemer blijft, waarbij de macht van de teller één kleiner is.
Voorbeeld 5 Beschouw de functie De teller bevat een term van graad vier (als hoogst voorkomende macht), dit is hoger dan de derdegraads term die als hoogste macht in de noemer voorkomt bij wegwerken van de haakjes. Om de primitieve van te vinden, kunnen we eerst met een staartdeling de teller door de noemer delen, om zo te herschrijven tot een veelterm plus als restterm een rationale functie met noemer en een teller met termen van graad kleiner dan 3. Namelijk From this, we have:
Voorbeeld 6
We kunnen nu de breuk als volgt splitsen: en we vinden de onbekenden , , en door de uitgesplitste breuk terug onder één noemer te brengen. Hieruit volgen de vergelijkingen , en . Dat geeft , , en . Dus hebben we