Differentialen en integralen: Toepassingen van integratie
Gemiddelde functiewaarde op een interval
Het gemiddelde \(\overline{f}_{[a,b]}\) van een functie \(f(x)\) over het interval \([a,b]\) is \[\overline{f}_{[a,b]}=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,\dd x\] d.w.z. de integraal over het interval gedeeld door de lengte van het interval. De integraal is de oppervlakte onder de grafiek, en die is gelijk aan de oppervlakte van de rechthoek met hoogte \(\overline{f}_{[a,b]}\). Onderstaande concrete voorbeelden illustreren deze toepassing.
De berekening van de gemiddelde waarde van \(f(t)=e^{-t}\) op het interval \([0,100]\).
\[\overline{f}_{[0,100]}=\frac{1}{100}\int_0^{100} e^{-t}\,\dd t=\frac{1}{100}\left[-e^{-t}\right]_0^{100}=\frac{1}{100}\left(1-e^{-100}\right)\]
Merk op dat de gemiddelde waarde ongeveer gelijk is aan \(\frac{1}{100}\) omdat de term \(e^{-100}\) verwaarloosbaar klein is.
De berekening van de gemiddelde waarde van \(\sin(x)^2\) op het interval \([0,2\pi]\).
Via partiële integratie vinden we: \[\begin{aligned}\int_0^{2\pi}\bigl(\sin(x)\bigr)^2\,\dd x&=\int_0^{2\pi}\sin(x)\cdot \bigl(-\cos(x)\bigr)'\,\dd x\\ \\ &=\bigl[-\sin(x)\cos(x)\bigr]_{0}^{2\pi}-\int_0^{2\pi}\cos(x)\cdot\bigl(-\cos(x)\bigr)\,\dd x\\ \\ &=\int_0^{2\pi}\bigl(\cos(x)^2\bigr)\,\dd x\end{aligned}\] Maar dan ook: \[\begin{aligned}2\int_0^{2\pi}\bigl(\sin(x)\bigr)^2\,\dd x &= \int_0^{2\pi}\bigl(\sin(x)\bigr)^2\,\dd x+\int_0^{2\pi}\bigl(\cos(x)^2\bigr)\,\dd x\\ \\ &= \int_0^{2\pi}\biggl(\bigl(\sin(x)\bigr)^2+\bigl(\cos(x)^2\bigr)\biggr)\,\dd x\\ \\ &=\int_0^{2\pi} 1\,\dd x=\bigl[x\bigr]_0^{2\pi}=2\pi.\end{aligned}\] Dus: \[\int_0^{2\pi}\bigl(\sin(x)\bigr)^2\,\dd x=\pi\] en de gemiddelde waarde van \(\sin(x)^2\) op het interval \([0,2\pi]\) is gelijk aan \(\frac{1}{2}\).
