Differentialen en integralen: Toepassingen van integratie
Eenvoudige differentiaalvergelijkingen
Vooruitlopend op de theorie van gewone differentiaalvergelijkingen kunnen we alvast kijken naar een bijzondere klasse differentiaalvergelijkingen. Voor het moment volstaat de bewering dat een differentiaalvergelijking een vergelijking is waarin naast een of meer onbekende functies ook een of meer afgeleiden van die functies voorkomen. De onbekende in een differentiaalvergelijking is niet een getal maar een functie (van plaats, tijd, of allebei). Een eenvoudig voorbeeld van een differentiaalvergelijking is \[y'(t) = 0\] De onbekende functie is \(y(t)\) waarvoor moet gelden dat de afgeleide gelijk aan nul is. Dit kan alleen maar als de functie constant is. We noemen dit de algemene oplossing van de differentiaalvergelijking.
Een directe toepassing van integreren is het oplossen van een gewone differentiaalvergelijking van het type \[\frac{\dd y}{\dd t}=f(t)\] voor een zekere gegeven functie \(f(t)\). De algemene oplossing van deze differentiaalvergelijking krijg je door te primitiveren: \[y(t)=\int f(t)\,\dd t\] Anders geformuleerd:
De algemene oplossing van \[y'(t)=f(t)\] is \[y(t)=F(t)+c\] met \(F(t)\) een primitieve van \(f(t)\) en \(c\) een constante.
Een concreet voorbeeld is de differentiaalvergelijking \(y'(t)=2t\). De algemene oplossing is dus \(y(t)=\int 2t\,dd t=\frac{1}{2}t^2+c\), voor zekere constante \(c\).
Je denkt wellicht dat dit soort differentiaalvergelijkingen weinig voor komen, maar dat is niet helemaal waar.
Voorbeeld uit de biomechanica In de context van biomechanica kan de tweede wet van Newton geformuleerd worden als de gelijkheid van de kracht \(F\) uitgeoefend op een voorwerp aan de verandering van het impulsmoment (genoteerd met \(p\)) van dit voorwerp; in formuletaal \(F=\frac{\dd p}{\dd t}\). Als de kracht \(F(t)\) als functie van tijd \(t\) op een interval \([t_\mathrm{begin}, t_\mathrm{eind}]\) bekend is, dan kan de verandering van impuls tijdens dit interval berekend worden met de volgende integraal: \[p_\mathrm{eind}-p_\mathrm{begin}=\int_{t_\mathrm{begin}}^{t_\mathrm{eind}} F(t)\,\dd t\]
Voorbeeld van een sprong omhoog Een concreet voorbeeld is een sprong van de grond in opwaartse richting met afzetsnelheid \(v_\mathrm{afzet}\). De tijd \(t_\mathrm{max}\) nodig om de maximale hoogte te bereiken kan dan als volgt berekend worden onder de veronderstelling dat alleen zwaartekracht \(F(t)=-m\cdot g\), met massa \(m\) en valversnelling \(g\), een rol speelt en de afzet op tijdstip \(t=0\) plaatsvindt: \[-m\cdot v_\mathrm{afzet} =\int_{0}^{t_\mathrm{max}} -m\cdot g\,\dd t=-m\cdot g \cdot t_\mathrm{max}\] Met andere woorden: \[v_\mathrm{afzet}=g\cdot t_\mathrm{max}\] De zweeffase duurt twee keer zo lang als de fase om na afzet maximale hoogte te bereiken: \[\mathrm{duur\;van\;zweeffase} = \frac{2v_\mathrm{afzet}}{g}\]
Wanneer we de oplossingsmethode via het scheiden van variabelen in een gewone differentiaalvergelijking bespreken dan zal de integratietheorie ten volle haar nut bewijzen.
