Geparametriseerde krommen: Krommen in het vlak
Krommen in het vlak
De hiernaast getekende cirkel, met de oorsprong \(O=(0,0)\) als middelpunt en met straal \(2\), bestaat uit alle punten \(P(x,y)\) waarvoor geldt dat \(x^2+y^2=4\).
Maar de punten op de cirkel kunnen we ook beschrijven via een geparametriseerde kromme of parameterkromme, waarbij we de punten specificeren door de coördinaatfuncties \(x=2\cos t\) en \(y=2\sin t\). We spreken van coördinaatfuncties omdat de coördinaten \(x\) en \(y\) functies zijn van de variabele \(t\). Als \(t\) van \(0\) naar \(2\pi\) loopt, doorloopt het punt \(P\) de cirkel in de pijlrichting.
\(\phantom{xxx}\)
In het interactieve diagram onder de figuur is het punt \(P\) te verplaatsen door de schuifbalk tussen \(0\) en \(2\pi\) te bewegen; de turquoise boog geeft aan welk pad het punt \(P=(2\cos t,2\sin t)\) al van \(0\) naar \(t\) heeft afgelegd.
In het algemeen kun je door twee functies \(x=f(t)\) en \(y=g(t)\) een kromme in het vlak beschrijven; we spreken dan van een parametrisatie of parametervorm van de kromme met parameter \(t\). Bijna altijd neemt men daarbij 'nette' functies \(f\) en \(g\) als coördinaatfuncties. De parameter \(t\) stelt in veel toepassingen de tijd voor.
De parametrisatie van een kromme is niet uniek: het volgende voorbeeld illustreert een nieuwe parametrisatie van de cirkel met de oorsprong \(O=(0,0)\) als middelpunt en met straal \(2\).
Parametrisaties van een cirkel Een parametervorm van de cirkel met de oorsprong \(O=(0,0)\) als middelpunt en met straal \(2\) is: \[x=2\cos t\quad\text{en}\quad y=2\sin t\] Een tweede gelijksoortige parametrisatie van de cirkel is: \[x=2\sin t\quad\text{en}\quad y=2\cos t\] De omlooprichting is nu met de wijzers van de klok mee en bij \(t=0\) hoort het punt \((0,2)\).
Een derde parametrisatie van de cirkel is: \[x=2(1-t^2)\quad\text{en}\quad y=2t\sqrt{2-t^2}\qquad\text{met}\quad -\sqrt{2}\le t\le \sqrt{2}\] Voor deze parametrisatie geldt immers: \[\begin{aligned}x^2+y^2&= 4(1- t^2)^2+ 4t^2(2-t^2)\\[0.25cm] &= 4(1- 2t^2+t^4)+ 4t^2(2-t^2)\\[0.25cm] &=4\end{aligned}\]
Een vierde parametrisatie van de cirkel, maar nu zonder het punt \((-2,0)\), hanteert rationale functies als coördinaatfuncties: \[x=\frac{2-2t^2}{1+t^2}\quad\text{en}\quad y=\frac{4t}{1+t^2}\] Dit is geen parametrisatie van de cirkel omdat het punt \((-2,0)\) niet beschreven kan worden op deze manier; maar verder doen alle punten op de cirkel mee! Voor deze parametrisatie geldt immers: \[\begin{aligned}x^2+y^2&= \frac{(2-2t^2)^2}{(1+t^2)^2}+\frac{(4t)^2}{(1+t^2)^2}\\[0.25cm] &= \frac{4-8t^2+4t^4}{(1+t^2)^2}+\frac{16t^2}{(1+t^2)^2}\\[0.25cm] &= \frac{4+8t^2+4t^4}{(1+t^2)^2}\\[0.25cm] &=\frac{4(1+t^2)^2}{(1+t^2)^2} \\[0.25cm] &= 4\end{aligned}\]