Optelformules, verdubbelingsformules en andere goniometrische identiteiten

Goniometrische functies en hun inversen: Goniometrische functies

Optelformules, verdubbelingsformules en andere goniometrische identiteiten

Somformules De volgende drie optelformules horen ook tot de fundamentele gonioformules, maar je hoeft ze niet uit het hoofd te kennen:
\[\begin{aligned}
\sin (\alpha + \beta ) &= \sin(\alpha) \cos(\beta) + \cos(\alpha)\sin(\beta)\\ \\
\cos (\alpha + \beta ) &= \cos(\alpha) \cos(\beta) - \sin(\alpha) \sin(\beta) \\ \\
\tan (\alpha + \beta ) &= \frac{\tan(\alpha) +\tan(\beta)}{1 - \tan(\alpha) \tan(\beta)} \\ \\
\end{aligned}\]

Toepassing \[\begin{aligned} \sin\left(\tfrac{5}{12}\pi\right) &= \sin\left(\tfrac{1}{4}\pi+\tfrac{1}{6}\pi\right)\\ \\
&= \sin\left(\tfrac{1}{4}\pi\right) \cos\left(\tfrac{1}{6}\pi\right) + \cos\left(\tfrac{1}{4}\pi\right)\sin\left(\tfrac{1}{6}\pi\right)\\ \\
&=\tfrac{1}{2}\sqrt{2}\cdot \tfrac{1}{2}\sqrt{3}+\tfrac{1}{2}\sqrt{2}\cdot \tfrac{1}{2}\\ \\
&=\tfrac{1}{4}\sqrt{2}\left(\sqrt{3}+1\right)\\ \\ &=\dfrac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}\end{aligned}\]

Verdubbelingsformules Vervanging van \(\beta\) door \(\alpha\) in de optelformules geeft de volgende verdubbelingsformules
\[\begin{aligned}
\sin(2 \alpha) &= 2 \sin(\alpha) \cos(\alpha)\\ \\
\cos(2 \alpha) &= \cos(\alpha)^2 - \sin(\alpha)^2\\ \\ &= 2\cos(\alpha)^2 - 1\\ \\ &= 1 - 2\sin(\alpha)^2\\ \\
\tan (2\alpha ) &= \frac{2\tan(\alpha)}{1 - \tan(\alpha)^2}
\end{aligned}\]
Alleen de eerste twee verdubbelingsformules moet je uit het hoofd kennen.

Toepassing Uit \[\tfrac{1}{2}\sqrt{3}=\cos\left(\tfrac{1}{6}\pi\right)=2\cos\left(\tfrac{1}{6}\pi\right)^2-1\] volgt dat \[\cos\left(\tfrac{1}{12}\pi\right)^2=\dfrac{\tfrac{1}{2}\sqrt{3}+1}{2}=\dfrac{\sqrt{3}+2}{4}\] en dus \[\cos\left(\tfrac{1}{12}\pi\right)=\tfrac{1}{2}\sqrt{\sqrt{3}+2}\tiny.\] Zo'n geneste wortel vind je misschien niet fraai, maar we kunnen dit verhelpen. Stel \[x=\tfrac{1}{2}\sqrt{\sqrt{3}+2}\] Dan \[\sqrt{\sqrt{3}+2}=2x\] Kwadrateren geeft \[\sqrt{3}+2=4x^2\] en dan ook \[2\sqrt{3}+4=8x^2\] Het linkerlid laat zich als een kwadraat schrijven: \[2\sqrt{3}+4=\left(\sqrt{3}\right)^2+2\sqrt{3}+1=\left(\sqrt{3}+1\right)^2\] Uit \[\left(\sqrt{3}+1\right)^2=8x^2\] volgt door worteltrekken dat \[\sqrt{3}+1=\sqrt{8}x=2\sqrt{2}x\] Het eindresultaat is: \[\cos\left(\tfrac{1}{12}\pi\right)=\frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}\tiny.\]

Verschilformules Vervanging van \(\beta\) door \(-\beta\) in de optelformules geeft
\[\begin{aligned}
\sin (\alpha - \beta ) &= \sin(\alpha) \cos(\beta) - \cos(\alpha) \sin(\beta)\\ \\
\cos (\alpha - \beta ) &= \cos(\alpha) \cos (\beta) + \sin(\alpha) \sin(\beta)\\ \\
\tan (\alpha - \beta ) &= \frac{\tan(\alpha) -\tan(\beta)}{1+\tan(\alpha) \tan(\beta)}
\end{aligned}\]
Deze formules hoef je niet uit het hoofd te kennen, net zo min als onderstaande formules.

Productformules Combinatie van eerdere formules geeft de volgende productformules voor sinus en cosinus:
\[\begin{aligned}
\sin (\alpha) \cos(\beta ) &= \tfrac{1}{2}\bigl(\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta)\bigr)\\ \\
\cos (\alpha) \cos(\beta ) &= \tfrac{1}{2}\bigl(\cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha-\beta)\bigr)\\ \\
\sin (\alpha) \sin(\beta ) &= \tfrac{1}{2}\bigl(\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)\bigr) \\ \\
\end{aligned}\]

Formules van Simpson (van som naar product) Ook kunnen de volgende formules voor optelling en verschil van goniometrische functies afgeleid worden:
\[\begin{aligned}
\sin (\alpha) + \sin(\beta ) &= 2\sin\biggl(\frac{\alpha+\beta}{2}\biggr) \cos\biggl(\frac{\alpha-\beta}{2}\biggr)\\ \\
\sin (\alpha) - \sin(\beta ) &= 2\sin\biggl(\frac{\alpha-\beta}{2}\biggr) \cos\biggl(\frac{\alpha+\beta}{2}\biggr)\\ \\
\cos (\alpha) + \cos(\beta ) &= 2\cos\biggl(\frac{\alpha+\beta}{2}\biggr) \cos\biggl(\frac{\alpha-\beta}{2}\biggr)\\ \\
\cos (\alpha) - \cos(\beta ) &= -2\sin\biggl(\frac{\alpha+\beta}{2}\biggr) \sin\biggl(\frac{\alpha-\beta}{2}\biggr)
\end{aligned}\]

Hoewel Thomas Simpson (1710-1761) de eigenlijke ontdekker van bovenstaande formules is, worden ze ook wel de formules van Mollweide genoemd. Karl Brandan Mollweide (1774-1825) was een Duitse wis- en natuurkundige en publiceerde de naar hem vernoemde formules in 1808, zij het in een iets andere vorm.

Zoals je bij de gegeven toepassingen al hebt kunnen zien zijn deze formules ook te gebruiken om speciale functiewaarden uit te rekenen.

Gebruik de optelformules om #\sin\!\left(\dfrac{\pi}{12}\right)# te berekenen.

\(\sin\left(\dfrac{\pi}{12}\right)=\dfrac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}\)

Uitwerking
\[\begin{aligned}
\sin\left(\frac{\pi}{12}\right)&=\sin\left(\frac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{4}\right)\\ \\
&=\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)-\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\\ \\
&=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}-\dfrac{1}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \\
&=\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}\tiny.
\end{aligned}\] Alternatieve manieren om één twaalfde op te splitsen:\[\frac{1}{12}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}-\frac{1}{6}=\frac{5}{12}-\frac{1}{3}=\frac{7}{12}-\frac{1}{2}\tiny .\] Je kunt deze opgave dus op verschillende manieren oplossen, maar het resultaat is natuurlijk altijd hetzelfde.

Nieuw voorbeeld

Mathcentre videos

The Double Angle Formula (26:33)

Trigonometric Identities (40:17)