Signalen in het tijddomein

Goniometrische functies en hun inversen: Goniometrische functies

Signalen in het tijddomein

Vanaf nu gebruiken we de onafhankelijke variabele $t$ , omdat we die meestal zullen interpreteren als de tijd. Een functie $s(t)$ van $t$ heet dan een (tijd)signaal.

Een signaal van de vorm

$s(t)=A \sin(2\pi f t+\varphi)$ heet een wisselsignaal (of ook wel sinusoïde) met amplitude $A$ , frequentie $f$ en fase $\varphi$ .

We zullen altijd aannemen dat $A$ en $f$ positieve getallen zijn en noemen deze formule de zogenaamde standaardvorm.
De amplitude bepaalt de grootte van de oscillaties.
De frequentie bepaalt het aantal oscillaties op het tijdsinterval [0,1].
De eenheid van frequentie, d.w.z. het aantal perioden per seconde, is hertz (Hz).
De fase houdt verband met een horizontale verplaatsing
(naar links bij positieve $\varphi$ ; naar rechts bij negatieve $\varphi$ ).

Het getal $\displaystyle T=\frac{1}{f}$ is de periode van het wisselsignaal, want $T$ is het kleinste positieve getal met de eigenschap dat

$s(t+T)=s(t)$ voor alle $t$ .

In nevenstaande figuur is de grafiek getekend van de sinusoïde gedefinieerd als $s(t)=3\sin\left(\tfrac{1}{2}\pi+\tfrac{1}{2}\pi\right)$ . Hierin zijn aangegeven de amplitude ( $3$ ), de periode ( $4$ ) en de horizontale verschuiving ( $-1$ ) van een sinusgrafiek die in dit voorbeeld bij de fase van $\tfrac{1}{2}\pi$ past.

Wisselsignaal als som van sinus en cosinus Door gebruik te maken van de optelformules kan elk wisselsignaal ook in de vorm

$s(t)=a \sin(2\pi f t)+b \cos(2\pi f t)$ geschreven worden. Daarbij is

$a=A \cos(\varphi)\quad\text{en}\quad b=A \sin(\varphi)$

Omgekeerd kan elk signaal van de vorm

$s(t)=a \sin(2\pi f t)+b \cos(2\pi f t)$ in de standaardvorm genoteerd worden. Je moet $A$ en $\varphi$ dan zo bepalen dat in ieder geval

$A=\sqrt{a^2+b^2}\quad\text{en}\quad \tan(\varphi)=\frac{\sin(\varphi)}{\cos(\varphi)}=\frac{b}{a}$ De geschikte fase $\varphi$ ligt op veelvouden van $2\pi$ na vast.