\(x=-\tfrac{1}{2}\!\pi+k\cdot2\pi\)

---

We zoeken eigenlijk de snijpunten van de grafiek van de sinusfunctie met de lijn \(y=-1\). We gebruiken daarbij de eenheidscirkel want het probleem laat zich vertalen naar het vinden van snijpunten van de eenheidscirkel met de #y#-as en het opsporen van de draaiingshoeken die het punt #A=(1,0)# op de eenheidscirkel naar deze snijpunten beweegt.

Het punt #(0,-1)# is het snijpunt van de eenheidscirkel met de #y#-as dat verkregen wordt door het punt #A=(1,0)# te draaien over een hoek #-\tfrac{1}{2}\!\pi#. Maar er zijn veel meer draaiingshoeken die het punt #A# daar naar toe bewegen. Je kunt bij elke draaiingshoek een geheel veelvoud van \(2\pi\) optellen of aftrekken. Dit geeft #x=-\tfrac{1}{2}\!\pi+k\cdot2\pi# voor zeker geheel getal \(k\). Dus:

De oplossing van de vergelijking \(\sin x=-1\) is van de vorm \(x=-\tfrac{1}{2}\!\pi+k\cdot2\pi\) met \(k\) een willekeurig geheel getal.

Waarschuwing
De verleiding is groot om aan weerszijden van de vergelijking \(\sin(x)=-1\) de functie #\arcsin# toe te passen. Je krijgt dan \(\arcsin\bigl(\sin(x)\bigr)=\arcsin(-1)\) en je denkt dan misschien gebruik te kunnen maken van het feit dat #\sin# en #\arcsin# elkaar inversen zijn en dat dus vast #x=\arcsin(-1)=-{{\pi}\over{2}}#.
Maar je hebt dan maar één oplossing gevonden! Dit komt omdat #\arcsin\bigl(\sin(x)\bigr)=x# alleen maar geldt op het segment #[-\tfrac{1}{2}\!\pi,\tfrac{1}{2}\!\pi]# en in dit segment heb je een oplossing gevonden. Je moet dan nog uitzoeken welk veelvoud van #\pi# hierbij opgeteld of afgetrokken mag worden.