$x=k\cdot\pi$

---

We zoeken eigenlijk de snijpunten van de grafiek van de sinusfunctie met de lijn $y=0$. We gebruiken daarbij de eenheidscirkel want het probleem laat zich vertalen naar het vinden van snijpunten van de eenheidscirkel met de $x$-as en het opsporen van de draaiingshoeken die het punt $A=(1,0)$ op de eenheidscirkel naar deze snijpunten beweegt.

De punten $(1,0)$ en $(-1,0)$ zijn de snijpunten van de eenheidscirkel met de $x$-as die verkregen worden door het punt $A=(1,0)$ te draaien over hoeken $0$ en $\pi$. Maar er zijn veel meer draaiingshoeken die het punt $A$ daar naar toe bewegen. Je kunt bij elke draaiingshoek een geheel veelvoud van $2\pi$ optellen of aftrekken. Dit geeft $x=0+k\cdot2\pi$ of $x=\pi+k\cdot2\pi$ voor zeker geheel getal $k$. Dus:

De oplossing van de vergelijking $\sin x=0$ is van de vorm $x=k\cdot\pi$ met $k$ een willekeurig geheel getal.

Waarschuwing
De verleiding is groot om aan weerszijden van de vergelijking $\sin(x)=0$ de functie $\arcsin$ toe te passen. Je krijgt dan $\arcsin\bigl(\sin(x)\bigr)=\arcsin(0)$ en je denkt dan misschien gebruik te kunnen maken van het feit dat $\sin$ en $\arcsin$ elkaar inversen zijn en dat dus vast $x=\arcsin(0)=0$.
Maar je hebt dan maar één oplossing gevonden! Dit komt omdat $\arcsin\bigl(\sin(x)\bigr)=x$ alleen maar geldt op het segment $[-\tfrac{1}{2}\!\pi,\tfrac{1}{2}\!\pi]$ en in dit segment heb je een oplossing gevonden. Je moet dan nog uitzoeken welk veelvoud van $\pi$ hierbij opgeteld of afgetrokken mag worden.